IPhO-Aufgabensammlung Inhaltsverzeichnis

(b) Sei also die Erde ein Inertialsystem und die Erdrotation folglich nicht vorhanden, dann
gilt nach dem 3. Keplerschen Gesetz:
a1
a2
2
=
T1
T2
2
wobei die Indizes zwei verschiedene
geschlossene Ellipsenbahnen um die Erde bezeichnen und T die Umlaufdauern und a die
großen Halbachsen bedeuten. Eine Gerade, die beide Brennpunkte verbindet ist eine gestörte
Form der Ellipse und sein nun mit Index 1 behaftet. Ein Kreis der direkt um den Erdradius
geht ist auch eine gestörte Form der Ellipse und sei nun mit Index 2 behaftet. Dann ist
a2 = rE; T2 = 2π 1 rE
ω = 2π , wobei v hier die erste kosmische Geschwindigkeit ist und
v1
somit T2 = 4π2 r3 E
GmE . T1 soll ein Jahr sein (Beachte es ist eine Näherung, da der andere
Brennpunkt mit dem Erdmittelpunkt zusammenfällt). Dann ergibt sich:
h ≈ a1 = 3
T 2 GmE
1
4π2r3 r
E
3
3
E = T 2 GmE
1 4π2 ≈ 2, 15 · 109m v
v2 = 1 − rE
h ≈ 0, 9985. v ist also unwesentlich kleiner als v2. Es geht auch anders indem
man im wesentlichen Kepler 3 nachrechnet: v(x) =
a
Epot(r → ∞) = 0 sei. Somit ist: 1 y =
rE
dx
2m/(mGmE( 1
x
2
m (Ekin;0 + Epot;0(x) − Epot(x)), wobei
1
− a)) , wobei Ekin;0+Epot;0 = Epot(a),
wobei a der Ort ist wo der Körper umkehrt, sodass Ekin;0(a) = 0 ist. Dieses Integral kann
mit der Substitution x = a sin φ gelöst werden.
Aufgabe 106: Masse und Feder
Erste Phase: Beschleunigung der Masse 3m. Da Zwangsbedingung und 3. Newtonsche Gesetz dazu
führt, dass die Masse m an Ort und Stelle verbleibt (Zwangsbedingung wirkt als Impulsreservoir).
Deshalb gibt es eine Beschleunigung des Schwerpunktes. Die Schwerpunktsenergie ist 3
4 der
Gesamtenergie. Diese Steckt also in einer Translationsenergie. Für die Schwingung verbleibt also
noch ein viertel der Gesamtenergie. Das heißt Ê′ pot = 1
4 Êpot, wobei Ê′ pot die maximale potentielle
Energie der Feder nach dem Stoß ist. Daraus folgt ˆ l ′2 = 1
4 ˆ l 2 ⇒ ˆ l ′ = 1
2 ˆ l = 2 cm.
Aufgabe 107: Houston, wir haben ein Problem
2
mG
(a) Bernoulli liefert: v = ρ(t) p(t). Da pV = nRT = const und V = ρ ergibt sich: p
ρ =
RT = const. V bezeichnet hierbei das Volumen des Gases, wobei sich gedacht wird,
MLuft
dass es sich insgesamt isotherm ausdehnt. (Das das außerhalb der Raumsphäre nicht der
Fall ist
beeinflusst den isothermen Prozess innerhalb der Raumsphäre nicht). Somit ist
v = 2 RT
MLuft =
2kT
RT RT mi ˙
= const. ˙p = ˙ρ = mLuft MLuft MLuft VK , wobei VK das Volumen der
Raumkapsel ist, welches sich nicht ändert. Das Gas im Raumschiff bewegt sich nicht, dehnt
sich langsam aus, lediglich das Gas, dass direkt am Loch ist wird durch den Druckgradienten
beschleunigt. Da sich die Dichte des Gases in der Raumkapsel nur dadurch ändert, das
Gas am Loch mit Dichte ρ(t) ausgestoßen wird, muss die Änderung ρ(t) der Gasmenge,
die ausgestoßen wird, während des Austoßes derselben nicht berücksichtigt werden. mi ˙ =
−Avρ(t) = −AvpMLuft
RT = − ApMLuft
2RT
RT . Somit ergibt sich:
MLuft
75