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Aufgabe 96: Meteoritentemperatur
Dies ist eine vorläufige, noch nicht zufriedenstellende Lösung der Aufgabe.
(a) ˙ N = ˙m
mt = ρ(h)πR2 v(h)
mt
(b) P = σ4πR 2 T 4 = mt
2 v2 ρπR2 v
mt
mv3 = 2h ln v0
v ⇒ T =
mv3 v
ln 0v ( )
3πR2 1
4
hσ
(c) 0 = ∂
∂v T 4 = m
8πR2hσ v2 3 ln v0
v − 1 mit den zwei Bedingungen: ln v 1 = − v0 3 und daraus
folgend: m
3πR2 = hρ(h) aus der man im speziellen Fall nun eine oder mehrere Lösungen hl
gewinnen muss, woraus folgt: ˆ T =
Aufgabe 97: Bewegte Glasscheibe
mv3 0
24πeR2 1
4
hlσ
Im Ruhesystem des Glaskörpers bewegt sich der Lichtstrahl mit c
n durch den Glaskörper. Im
Laborsystem ist diese Geschwindigkeit (nach der Regel für die Addition von Geschwindigkeiten):
c ′ n = c 1+βn
n+β . Im Laborsystem sei die Länge des Glaskörpes mit D′ bezeichnet. Nun berechnen wir
die Zeit, die das Licht im Körper benötigt. Dazu ist zu beachten, dass sich der Körper noch mit
der Geschwindigkeit v bewegt. Das heißt, es gilt: c ′ n∆tGlas = D ′ + v∆tGlas.
Daraus folgt: ∆tGlas = D′
c ′ n−v und der im Glas zurückgelegte Weg errechnet sich zu: lGlas =
c ′ nD′ c ′ n−v = D′ + vD′
c ′ n−v . Der Rest des Weges l − lGlas wird mit c zurückgelegt. Vergleicht man mit der
Laufzeit ohne Glas, so fällt auf, dass das Wesentliche an der Laufzeit, die Laufzeitdifferenz des
Lichtweges mit Glas und des Lichtweges ohne Glas ist. Folglich: p := ∆∆t = − 1 vD′
c ( c ′ n−v +D′ )+ D′
c ′ n−v .
Dies lässt sich wie folgt umformen:
p = − D′ βD′
+
c c ′ D′
+
n − v c ′
D′
c
= −1 +
n − v c c 1+βn
(β + 1)
n+β − v
= D′
n + β
−1 +
(1 − β)
c 1 + βn − βn − β2 = D (1 − β)(1 + β) n − 1
c 1 + β
= D
(n − 1)
c
1 − β
1 + β
Also beträgt die Gesamtlaufzeit: δtges = l
c
Aufgabe 98: Gasvolumina
D
1−β
+ c (n − 1) 1+β
Aufgabe 104: Kosmische Geschwindigkeiten
(a) 1. Kosmische Geschwindigkeit: mg = mGmEr −2
v1 =
GmE
rE
mGmE lim
b→∞
E = mω2rE ⇒ GmE
rE = ω2r2 E = v2 1 ⇒
b
1
. 2. Kosmische Geschwindigkeit: 2mv2 2 = WHub = lim
2Gme
⇒ v =
1
rE
− 1
b
= mGmEr −1
E
74
rE
b→mGme∞ rE
dx 1
x 2 =