und Komponenten-Technologien in der Modellierung ... - CES - KIT

5 Konzeption, Realisierung und Bewertung einer Optimierungskomponente 101
evaluierungen, die während des Optimierungsprozesses mit einer direkten Optimierungsstrategie
durchgeführt wurden, wobei Mehrfachevaluierungen eines Suchpunktes mitgezählt
werden. Damit entspricht der Netto-Optimierungsaufwand exakt der Basiskenngröße
Optimierungsaufwand o A . Der Brutto-Optimierungsaufwand ist stets größer oder
gleich dem Netto-Optimierungsaufwand. Unterschiede ergeben sich dann, wenn durch
Maßnahmen zur Reduktion des Optimierungsaufwands wie beispielsweise Vermeidung
von Reevaluation oder Zielfunktionsapproximation Zielfunktionsevaluierungen eingespart
werden können. In solchen Fällen übersteigt die Anzahl der erzeugten Suchpunkte
die der tatsächlich evaluierten.
Die Tatsache, dass die Anwendung probabilistischer Optimierungsverfahren auf ein Optimierungsproblem
ein Zufallsexperiment mit ungewissem Ausgang darstellt, macht die Quantifizierung
der Leistungsfähigkeit dieser Verfahren durch die oben aufgeführten Kenngrößen zu einer
anspruchsvollen und meist auch sehr zeitaufwändigen Aufgabe. Da sich die zu bestimmenden
Leistungskenngrößen erst bei wachsender Anzahl von Versuchswiederholungen statistisch stabilisieren
(Prinzip der großen Zahlen), sind zu ihrer empirischen Ermittlung umfangreiche
Mehrfachexperimente 6 durchzuführen. Die dabei anfallenden Optimierungsdaten werden in
Form von Datensätzen abgespeichert, um anschließend statistisch ausgewertet und auf die oben
genannten Leistungskenngrößen reduziert werden zu können.
5.3.2 Testprobleme
Zur empirischen Bewertung direkter Optimierungsverfahren können als Testprobleme sowohl
Simulationsmodelle als auch mathematische Testfunktionen herangezogen werden. Mathematische
Funktionen haben gegenüber simulationsbasierten Zielfunktionen jedoch zwei entscheidende
Vorteile: Ihre Extremstellen lassen sich meist auf analytische Weise im Voraus bestimmen
und die i.a. sehr kurze Evaluierungsdauer ermöglicht die Durchführung einer statistisch
relevanten Anzahl von Optimierungsexperimenten in relativ kurzer Zeit. Die im Folgenden beschriebenen
Leistungsuntersuchungen basieren daher ausschließlich auf mathematischen Testproblemen.
Ergebnisse zu Optimierungsexperimenten mit simulationsbasierten Zielfunktionen
finden sich in [Syrj97] und [Info99].
Die Sucheigenschaften der in diesem Beitrag beschriebenen Optimierungsalgorithmen sollen
anhand von vier mathematischen Testproblemen mit sehr unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad
demonstriert werden. Alle vier Problemstellungen weisen hochgradig nicht-lineare multimodale
Zielfunktionen mit einem globalen und mehreren lokalen Optimumpunkten auf.
n n
In Tabelle 5.3.2.1 ist das erste Testproblem ( L, 1 F 1 ) spezifiziert. Hier besteht die Aufgabe
darin, eine trigonometrische Zielfunktion zu optimieren, die für alle Problemdimensionen n∈N
∗
genau einen globalen Maximumpunkt x =(7.98,7.98,...,7.98) aufweist. Beachtet werden sollte,
n n
dass die Anzahl der lokalen Maximumpunkte von ( L, 1 F 1 ) mit wachsendem n exponentiell
ansteigt.
6 Als Mehrfachexperiment wird die mehrfache Ausführung eines fest parametrisierten Optimierungsverfahrens zu
einem Optimierungsproblem mit jeweils unterschiedlicher Initialisierung des Pseudo-Zufallszahlengenerators bezeichnet.