und Komponenten-Technologien in der Modellierung ... - CES - KIT

2 Grundlagen 19
zusätzlich die zweite Ableitung. Für die Optimierung von Simulationsmodellen sind hybride
Strategien, die analytische Zusatzinformationen über F verwenden, jedoch ohne Bedeutung, da
hier die dazu notwendige mathematische Beschreibung von F nicht vorausgesetzt werden kann.
Eine umfassende Übersicht über das Themengebiet Hill-Climbing sowie detaillierte Beschreibungen
der oben genannten Verfahren finden sich in [HoHo71], [Schw77] und [Prüf82].
2.3.3.2 Globale Optimierung
Die globale Optimierung hat zum Ziel, zu einem Optimierungsproblem (L,F) das globale Op-
*
timum F der Zielfunktion F zu ermitteln. Dabei kann es durchaus mehrere global-optimale
∗
Lösungsalternativen x1 ∗
,..., x k
geben, an denen die Zielfunktion den optimalen Wert *
F erreicht.
Die Hauptprobleme, die sich bei der globalen Optimierung ergeben, sind:
- Zur globalen Optimierung existiert kein allgemein anwendbarer Basisalgorithmus wie etwa
bei der lokalen Optimierung.
- Im Gegensatz zur lokalen Optimierung, bei der verschiedene einfach zu berechnende Kriterien
für das Erreichen einer lokal-optimalen Lösung existieren (alle benachbarten Lösungen
sind schlechter, erste partielle Ableitungen verschwinden), sind bei der globalen Optimierung
Kriterien dieser Art nur in Trivialfällen 8 anwendbar. Die einzige Möglichkeit, um sicher
nachzuweisen, dass es sich bei einer gefundenen Lösung um eine global-optimale Lösung
handelt, ist i.a. das erschöpfende Durchsuchen des Lösungsraums 9 , wobei beachtet
werden sollte, dass die Anzahl der Lösungsalternativen mit wachsender Problemdimension
in der Regel exponentiell ansteigt. Diese Eigenschaft verursacht unter anderem auch die
großen Schwierigkeiten bei der Definition geeigneter Abbruchkriterien für globale Optimierungsverfahren.
- In ihrer allgemeinen Form handelt es sich bei der globalen Optimierung aus heutiger Sicht
um ein mathematisch nicht lösbares Problem [TöZi89]. Die existierenden Lösungsansätze
basieren daher im Wesentlichen auf Problementschärfung (Relaxierung) und/oder dem Einsatz
von Heuristiken.
Da nur in wenigen Fällen eine Problementschärfung möglich ist, stellen Heuristiken oft die
einzige Möglichkeit dar, um mit akzeptablem Aufwand zu einer befriedigenden Lösung zu
kommen, die in der Regel jedoch nicht die eigentlich gesuchte global-optimale Lösung darstellt.
Die meisten der heute für die Praxis relevanten Ansätze zur globalen Optimierung beinhalten
daher heuristische Elemente und es ist zu erwarten, dass dieser Trend sich in Zukunft
noch weiter verstärkt. Eine allgemeine Einführung und einen umfassenden Überblick über Eigenschaften
und Arten heuristischer Verfahren sowie deren Anwendungsbereiche wird in
[Zimm87] gegeben.
In der Fachliteratur wird heute ein sehr breites Spektrum unterschiedlicher Lösungsansätze und
Vorgehensweisen zur globalen Optimierung angeboten. Abhängig von Sichtweise und Anwen-
8 beispielsweise bei unimodalen Problemstellungen
9 was natürlich nur bei endlichen Lösungsräumen mit einem digitalen Rechner praktisch durchführbar ist