Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

1 PROBLEME UND ALGORITHMEN 9
Beispiel:
s
i❥
C ✒ ✻
C
1 ✒ ❘ t
❘ ❥
j
Wenn der Algorithmus für REACHABILITY immer die Kanten (i, j) oder
(j, i) durchläuft, werden mindestens 2C Iterationen benötigt!
Bei binärer Kodierung benötigt die Darstellung von C ⌈log C⌉ Bits. Wenn
etwa log C > n2 ist, wird die Länge der Problembeschreibung, d. h. die Beschreibung
des aktuellen Problemfalls durch O(n2 log C) beschränkt. Wählt
man beispielsweise im obigen Beispiel C = 2n3, dann ist die Laufzeit
O(n3C) = O(n32n3) eine exponentielle Funktion der Eingabelänge, der Algorithmus
für MAXFLOW ist exponentiell.
Einfache Verbesserung: Statt irgendeinen Pfad von s nach t in N(f) zu
suchen, gehe den Weg mit den wenigsten Knoten (z. B. mit der ” breadthfirst“-Version
bei REACHABILITY). Man kann dann zeigen, daß höchstens
n 3 Iterationen mit diesem Algorithmus nötig sind, also MAXFLOW in O(n 5 )
ist. (Anmerkung: Es geht sogar noch schneller.) Damit ist die Schranke von
einem exponentiellen zu einem polynomiellen Algorithmus durchbrochen.
Wir werden sehen, daß das leider wohl nicht immer möglich ist.
Bipartites Matching (Heiratsproblem): Gegeben sei ein bipartiter
Graph B(U, V, E) mit U, V Knoten, E ⊆ U × V und |U| = |V | = n.
Frage: Gibt es ein (perfektes) MATCHING, d. h. existiert eine Menge M ⊆
E mit |M| = n, und für alle (u, v), (u ′ , v ′ ) ∈ M gilt: u = u ′ und v = v ′ ?
Beispiel:
C
C
U V
Wir suchen also Paare von Männern und Frauen, die sich sympathisch sind.
Jede Person soll einen Partner finden. Wir können dieses Problem reduzieren
auf ein Flußproblem in folgendem Netzwerk:
Die Knotenmenge ist U ∪ V ∪ {s, t}, die Kantenmenge {(s, u)|u ∈ U} ∪ E ∪
{(v, t)|v ∈ V } und die Kapazität aller Kanten ist 1. Das zugehörige Netzwerk
sieht dann folgendermaßen aus: