Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

4 REDUKTIONEN UND VOLLSTÄNDIGKEIT 45
Beweis: Seien R eine Reduktion von L1 auf L2 und R ′ eine Reduktion von
L2 auf L3. Dann ist R ◦ R ′ eine Reduktion von L1 auf L3, weil: x ∈ L1 ⇔
R ′ (R(x)) ∈ L3.
Zu zeigen bleibt: R ◦ R ′ kann mit Platz O(log n) ausgeführt werden.
Seien MR und MR ′ die entsprechenden Turingmaschinen mit logarithmischen
Platz.
x
✻
MR
✸
❘
❄
R(x) ✛
✻
MR ′
✸
R ′ ❘
❄
(R(x))
.
.
u. U. |x| k dieser Bandinhalt wäre zu lang,
für ein k ≥ 1
Trick: Der Input R(x) für MR ′ wird simuliert. Zu jedem Zeitpunkt der Be-
rechnung merkt sich M auf einem Extraband die Position i des Lesekopfes
von MR ′ auf Eingabe R(x), wobei i binär dargestellt ist.
Anfangs ist i = 1, gelesen wird ⊲. Wann immer der Lesekopf von MR ′ um
eine Position nach rechts geht, wird i inkrementiert.
Die Berechnung von MR auf Eingabe x wird so lange fortgesetzt, bis der
Schreibkopf von MR auf dem Ausgabeband die neue Position i erreicht und
das nächste Ausgabesymbol produziert (und zwar das, welches endgültig
stehen bleibt). Dieses Symbol liest MR ′ und arbeitet damit weiter. Solange
auf Position i stehengeblieben wird, arbeitet MR ′ mit diesem Symbol.
Kritischer Fall: Lesekopf von MR ′ geht nach links, weil das Symbol schon
lange vergessen wurde. Dann wird i dekrementiert und MR wiederholt die
gesamte Berechnung von Anfang bis der Schreibkopf von MR wieder das
Symbol auf die neue Position geschrieben hat. Wenn dieses Symbol bekannt
ist, geht die Berechnung von MR ′ weiter.
Platzbedarf: O(log n), da log i ∈ O(log n) für alle i ≤ |k(x)| q.e.d.
4.2 Vollständigkeit
Die Relation ≤ ist transitiv. Welches sind die maximalen Elemente bezüglich
dieser Halbordnung?
Definition 4.5 (Vollständigkeit) Sei C eine Komplexitätsklasse und L
eine Sprache in C (L ∈ C). L heißt C-vollständig :⇔
∀L ′ ∈ C L ′ ≤ L