Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

6 CONP 60
EXACT COVER BY 3-SETS: Seien F = {S1, . . . , Sn}, Si ∈ U, |Si| =
3, |U| = 3m. Frage: Gibt es m disjunkte Mengen in F , deren Vereinigung U
ist?
Sofort ist einsichtig, daß
3DM 1.
≤ EXACT COVER BY 3-SETS 2.
≤ SET COVERING
1. 3DM ist Spezialfall von EXACT COVER BY 3-SETS: U = B ∪ G ∪
H, (b, g, h) ∈ T entspricht {b, g, h} ∈ F und T ′ entspricht exakter
Überdeckung F ′ .
2. EXACT COVER BY 3-SETS ist Spezialfall von SET COVERING
(Schranke m).
5.4 Weitere NP-vollständige Probleme
1. HAMILTON PATH (HP): Sei G = (V, E) ein Graph. Frage: Gibt
es einen Weg c1, . . . , cn, cj ∈ V = {1, . . . , n} durch alle Knoten mit
[cj, cj+1] ∈ E, j = 1, . . . , n − 1?
2. TSP(D): HP ≤ TSP (D), denn:
Sei G = (V, E) ein
Fall aus HP. R(G) = C, (dij), B mit C = V, B =
1 falls [i, j] ∈ E
n + 1 und dij =
. G hat Hamilton’schen Weg
2 sonst
genau dann, wenn es eine Tour durch alle Städte mit Länge ≤ n + 1
gibt.
Alle Zahlen sind in der Reduktion polynomiell beschränkt, d. h., TSP
(D) ist stark NP-vollständig!
3. INTEGER PROGRAMMING: Sei A ganzzahlige m × n-Matrix, D
ein m-stelliger Vektor. Frage: Gibt es einen ganzzahligen n-stelligen
Vektor X mit AX ≤ D?
SET COVERING ≤ INTEGER PROGRAMMING
6 coNP
6.1 NP und coNP
Für die Frage, ob ein Problem (oder eine Sprache) in NP liegt, ist in dieser
Vorlesung oft so argumentiert worden:
Sei Φ ein Boole’scher Ausdruck und Fall von SAT. Rate Belegung und teste.
Gibt es ein Zertifikat oder Zeugen, daß Φ wahr werden kann? Falls Φ wahr
ist, gibt es immer einen derartigen Zeugen.
Dies gilt für Probleme in NP allgemein.