Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

5 NP-VOLLSTÄNDIGE PROBLEME 54
x1
¬x1
¬x1
x2
x3
¬x2
¬x3 x2
x3
Allgemein: Φ = C1 ∧C2 ∧· · ·∧Cm mit Ci = (αi1 ∨α2i ∨α3i), αij sind Literale
der Form x oder ¬x.
R(Φ) = (G, K), K = m, wobei G = (V, E) ein Graph mit
und
V = {vij|i = 1, . . . , m; j = 1, 2, 3}
E = {[vij, vik]|i = 1, . . . , m; j = k; 1 ≤ j < k ≤ 3}∪{[vij, vlk]|i = l, αij = ¬αlk}
Das heißt, für jedes Auftreten eines Literals in Φ gibt es einen Knoten. Die
erste Menge von Kanten definiert Dreiecke den Klauseln entsprechend; die
zweite Menge von Kanten verbindet zueinander gehörige entgegengesetzte
Literale.
Behauptung: Es gibt eine unabhängige Menge I mit K Knoten in G genau
dann, wenn Φ erfüllbar ist.
Sei I unabhängig und |I| = K. Aus K = m folgt, daß I in jedem Dreieck
genau einen Knoten hat (niemals zwei, da sonst nicht unabhängig). Diese m
Knoten, die mit Literalen bezeichnet sind, haben keine Kanten zwischeneinander,
d. h. sie gehören nicht zu entgegengesetzten Literalen. Setze alle zu
den Knoten aus I gehörenden Literale auf true: Φ ist erfüllt.
Umgekehrt: Sei T Belegung für Φ mit T (Φ) = true. Wähle in jeder Klausel
Ci ein Literal mit Wert true aus. Jedes dieser m Literale gehört zu einem
Knoten in den entsprechenden Dreiecken. Da sie jeweils den Wert true haben,
können sie nicht zu Literalenpaaren der Form x und ¬x gehören (aus
verschiedenen Klauseldreiecken). Also gibt es zwischen Knoten keine Kanten,
woraus folgt, daß I unahängig ist. q.e.d.
Zu unabhängigen Mengen gibt es zwei weitere eng verwandte Probleme:
CLIQUE: Sei G = (V, E) ein Graph, k ∈ N. Eine Clique ist ein vollständiger
Untergraph, d. h., alle Knoten sind untereinander mit Kanten direkt
verbunden. Frage: Gibt es Cliquen der Größe k?