Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

7 SCHLUSSBETRACHTUNGEN 68
Kontextsensitive Sprachen: L(G) = L(M) mit M nichtdeterministische
Turing-Maschine mit Platz O(n) (linear beschränkte Turing-Maschine.
Sei L ∈ PSPACE, d. h. es existiert eine Turing-Maschine N, die L in p(n)
Platz akzeptiert, d. h. w ∈ L wird in p(|w|) Platz entschieden.
Trick: Padding. Jedes Wort w ∈ Σ ∗ wird mit Reduktion R (log space) zu
einem Wort R(w) = w# . . . # mit |R(w)| = p(|w|) aufgeblasen. # sind
hierbei Sondersymbole, Pseudoblanks. Das Wort R(w) wird nun in linearem
Platz entschieden.
Viele verallgemeinerte Spiele wie GO sind auch PSPACE schwer!
7.4 Parallele Komplexitätsklassen
Ein Modell für Parallelität, das schon in diesem Skript aufgetreten ist: Familie
von (Boole’schen) Schaltkreisen C = (C0, C1, . . . ), Ci mit i Inputgates.
Betrachtet werden nur uniforme Familien von Schaltkreisen: Es existiert
Turing-Maschine mit logarithmischen Platz, die für jede Eingabe 1 n die
Ausgabe Cn produziert. (Intuitiv: eine uniforme Familie von Schaltkreisen
entspricht der gleichen algorithmischen Idee). Sie dient dazu, unsinnige Konstruktionen
zu vermeiden (auch platzkonstruierbar).
Parallele Komplexität:
Definition 7.3 (Größe und Tiefe eines Schaltkreises) Sei C ein
Schaltkreis. Dann ist depth(C) die Länge des längsten Weges in C (genannt
Tiefe von C) und size(C) die Anzahl der Gatter von C (genannt Größe von
C).
Definition 7.4 Sei C = (C0, C1, . . . ) eine uniforme Familie von Schaltkreisen,
f, g : N → N Funktionen. Die parallele Zeit von C ist kleiner oder
gleich f(n), falls für alle n die Tiefe von Cn kleiner oder gleich f(n) ist,
falls also gilt:
∀n ∈ N depth(Cn) ≤ f(n).
Die Gesamtarbeit von C ist kleiner oder gleich g(n), falls für alle n die
Größe von Cn kleiner oder gleich groß ist, falls also gilt:
∀n ∈ N size(Cn) ≤ g(n).
Definition 7.5 Seien f, g : N → N Funktionen und L eine Sprache. Es
gilt:
L ∈ PT/WK(f(n), g(n)) ⇔
Es existiert eine uniforme Schaltkreisfamilie C, die L in paralleler Zeit
O(f(n)) und mit O(g(n)) Arbeit entscheidet.
Man kann zeigen: REACHABILITY ∈ PT/WK (log 2 n, n 3 log n).