Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

3 BEZIEHUNGEN ZWISCHEN KOMPLEXITÄTSKLASSEN 37
Korollar 3.3 Sei f(n) eine eigentliche Komplexitätsfunktion mit f(n) ≥
log n. Dann gilt:
NSPACE(f(n)) ⊆ SPACE(f(n) 2 )
Beweis: Sei M eine nichtdeterministische Turing-Maschine mit Platzbedarf
f(n). Die Eingabe sei x mit |x| = n.
Die Simulation auf deterministischen Maschinen läuft mit Algorithmus aus
Theorem 3.5 auf dem Konfigurationsgraphen G(M, x).
Für geeignetes c gibt es höchstens c f(n) Knoten, d. h. die Darstellung einer
Konfiguration ist höchstens von der Länge log c f(n) = f(n) log c = O(f(n)).
Systematisches Erzeugen der Konfigurationen nacheinander auf Band 3 (mit
Wiedergebrauch des Platzes): Für PATH (C, C ′ , 0) wird getestet, ob C = C ′
oder C M → C ′ . Letzteres wird durch Nachsehen in der Übergangsrelation ∆
von M festgestellt.
Außer den oben erzeugten Konfigurationen stehen noch die Startkonfigu-
ration sowie sämtliche ” yes“-Konfigurationen (nacheinander) für den Test
M ∗
CStart → C yes“ auf Band 3.
”
Da die Darstellung eines Knotens höchstens von der Länge O(f(n)) ist und
höchstens ⌈log cf(n) ⌉ Tripel auf Band 2 geschrieben werden, folgt für den
Platzbedarf O(f(n) 2 ). q.e.d.
Aus obigem Korollar folgt sofort PSPACE = NSPACE. Das deutet darauf
hin, daß Nichtdeterminismus bezüglich Platz nicht so bedeutend ist wie
bezüglich Zeit.
Das soll noch an einer weiteren Fragestellung belegt werden, dem Komplement
von nichtdeterministischen Platzklassen. Dies betrifft Fragen, die bis
1987 im wesentlichen offen waren.
Definition 3.6 Für nichtdeterministische Turing-Maschinen sei bei Eingabe
x
S(h) = C
M t
C ist Konfiguration in G(M, x) und CStart → C mit t ≤ h
Behauptung: Falls M eine nichtdeterministische Turing-Maschine mit
Platzbedarf f(n) und f(n) ≥ log n eine eigentliche Komplexitätsfunktion
ist, dann kann |S(h)| in O(f(n)) nichtdeterministisch berechnet werden.
Beweis: später
Theorem 3.6 (Immerman, Szelepscényi; 87/88) Sei f(n) ≥ log n eine
eigentliche Komplexitätsfunktion. Dann gilt:
NSPACE(f(n)) = co-NSPACE(f(n))