Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

5 NP-VOLLSTÄNDIGE PROBLEME 56
dann, wenn ein B ⊆ A mit
x∈B x = M existiert.
” ⇒“: o.B.d.A. sei |S| = k (Zunahme von Knoten). Für i = 1, . . . , m
sei φi =
vj∈S ɛij. 1 ≤ φi ≤ 2: Zu jeder Kante ei gehören mindestens
ein vj ∈ S (Überdeckung) und höchstens zwei Knoten aus S.
Sei B1 = {aj|vj ∈ S}, B2 = {bi|1 ≤ i ≤ m, φi = 1}, B = B1 ∪ B2
(Füllelemente, falls ei nur von einem v ∈ S getroffen). Es gilt:
x =
aj +
x∈B
vj∈S
φi=1
=
4 m +
vj∈S
= |S| · 4 m +
= k · 4 m +
bi
m
i=1
ɛij4 i−1
+
4 i−1
φi=1
⎜ ⎟
m ⎜ ⎟
⎜ ɛij⎟
4
⎜ ⎟
⎝vj∈S
⎠
i−1 +
4
φi=1
i−1
i=1
⎛
φi
⎞
m
φi4 i−1 +
4 i−1
i=1
= k4 m +
= k4 m + 2
= M
i,φi=2
φi=1
2 · 4 i−1 +
m
4 i−1
i=1
i,φi=1
4 i−1 +
i,φi=1
4 i−1
” ⇐“: Es existiere B ⊆ A mit
x∈B x = M. Sei B1 = B ∩ {a1 . . . , an}
und B2 = B ∩ {b1, . . . , bm}. Behauptung: S = {vj|aj ∈ B1} ist Kno-