Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

5 NP-VOLLSTÄNDIGE PROBLEME 53
Das heißt: Falls wir eine Belegung T finden mit T (x ∨ y ∨ z) = true,
dann können wir mit Hilfe von w immer sieben Klauseln erfüllen, sonst
höchstens sechs.
Sei Φ irgendein Fall von 3SAT. R(Φ): Für jede Klausel Ci = (α∨β ∨γ)
konstruiere zehn Klauseln nach Methode (*) mit Zusatzvariable wi
(statt w). Zehn Klauseln entsprechen einer Gruppe. Falls Φ m Klauseln
hat, hat R(Φ) 10m Klauseln.
Die maximale Anzahl der erfüllbaren Klauseln ist also k = 7m.
Behauptung: R(Φ) hat Belegung, die mindestens 7m Klauseln erfüllt ⇔ Φ
ist erfüllbar.
Seien 7m Klauseln in R(Φ) unter T erfüllt. Jeder Gruppe kann höchstens
sieben erfüllte Klauseln haben. Also hat jede Gruppe genau sieben erfüllte
Klauseln, d. h. mindestens ein Literal in jeder Ausgangsklausel Ci muß mit
true belegt sein. Also ist Φ erfüllt.
Φ ist erfüllt unter T . Daraus folgt, daß in jeder Gruppe sieben Klauseln
erfüllbar sind und somit R(Φ) eine Schranke k = 7m erreicht.
Logarithmischer Platz: Die Gruppen werden systematisch nacheinander erzeugt.
Die Indices sind alle in O(log n) darstellbar. q.e.d.
Es gibt noch weitere Varianten von SAT, die NP-vollständig sind, z. B.
können wir verlangen, daß in 3SAT in jeder Klauseln, die Variablen weder
alle true noch alle false sein dürfen: NAESAT (not-all-equal SAT). Solche
Probleme sind aus beweistechnischen Gründen oft interessant.
5.2 Graphentheoretische Probleme
Hier werden im folgenden nur ungerichtete Graphen G = (V, E),
[i, j] ∈ E behandelt.
i
j
INDEPENDENT SET (INDSET): Sei G = (V, E) ein ungerichteter
Graph, k ∈ N. Frage: Gibt es eine unabhängige Menge I mit |I| = k? (I ist
eine unabhängige Menge von Knoten: ∀i, j ∈ I [i, j] ∈ E).
Theorem 5.2 INDEPENDENT SET (INDSET) ist NP-vollständig.
Beweis: 3SAT ≤ INDSET. In Theorem 5.1 haben wir Gruppen von zehn
Klauseln als Bausteine benutzt. Hier benutzen wir Dreiecke als Grundbausteine,
d. h., wir werden nur Graphen betrachten, die in Dreiecke partitioniert
werden können. Wir betrachten also nur eine Untermenge von Problemen
in INDSET und zeigen, daß diese schon NP-vollständig ist.
Konstruktionsbeispiel: Φ = (x1 ∨x2 ∨x3)∧(¬x1 ∨¬x2 ∨¬x3)∧(¬x1 ∨x2 ∨x3)