Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

1 PROBLEME UND ALGORITHMEN 5
Komplexitätsfunktion
10 20 30
Größe n
40 50 60
n 0.00001 0.00002 0.00003 0.00004 0.00005 0.00006
s s s s s s
n2 0.0001 0.0004 0.0009 0.0016 0.0025 0.0036
s s s s s s
n3 0.001 s 0.008 s 0.027 s 0.064 s 0.125 s 0.216 s
n5 0.1 s 3.2 s 24.3 s 1.7 5.2 13.0
min min min
2n 0.001 s 1.0 s 17.9 12.7 35.7 366
min Tage Jahre Jhdte
3n 0.059 s 58 min 6.5 3855 2.0 ×
Jahre Jhdte 108 1.3 ×
10
Jhdte
13
Jhdte
Tabelle 1: Vergleich einiger polynomieller und exponentieller Zeitkomplexitätsfunktionen
(1 Schritt ≡ 10 −6 Sekunden), Jhdte – Jahrhunderte
Verhalten im schlechtesten Fall: Basis unserer Betrachtung ist der
schlechteste Fall (worst case).
Vielfach wäre es günstiger, ein Verhalten im Mittel zu beschreiben, z. B.
REACHABILITY: Knoten n wird bei gewissen Graphenklassen nach durchschnittlich
log n Iterationen markiert: REACHABILITY ∈ O(n log n) im
Mittel.
Diese Analyse wird bei Algorithmen gemacht. Schwierig ist es jedoch, eine
angemessene Eingabeverteilung zu finden und daraus einen mittleren Wert
zu ermitteln.
Standpunkt in der Komplexitätstheorie: Polynomiell zeitbeschränktes
Verhalten im schlechtesten Fall wird als Kriterium für Effizienz benutzt.
Dies ergibt eine nützliche Theorie, die Bedeutendes über praktische Berechnung
aussagen kann und die ohne diese Vereinfachung wohl nicht möglich
wäre.
1.3 Maximaler Fluß
Definition 1.3 Ein Netzwerk N = (V, E, s, t, c) ist ein Graph G = (V, E).
s ist dabei der Anfangsknoten (die sogenannte Quelle, d. h. keine Kante geht
nach s) und t ist der Endknoten (die sogenannte Senke, d. h. keine Kante
verläßt t). Für jede Kante (i, j) ∈ E gibt c(i, j) ≥ 0 die Kapazität der Kante
an.