Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

4 REDUKTIONEN UND VOLLSTÄNDIGKEIT 43
Phase 2:
• Band 3: Zähler i, j, k, k + 1. Systematisches Erzeugen aller Klauseln
(xki∨xk+1,j) nacheinander. Nachdem eine Klausel erzeugt ist,
nachprüfen (auf Band 1), ob (i, j) ∈ E. Falls (i, j) ∈ E, Klausel
löschen; andernfalls Ausgabe der Klausel auf Band 4 und Klausel
auf Band 3 löschen. Platzbedarf hier: 8 log n + c ∈ O(log n). (c
sind Trennsymbole, Klammern)
SAT ist ein Problem aus der Logik. Wie kann man nun bei gegebenen Ausdruck
Φ und gegebener Wahrheitsbelegung T den Wert T (Φ) berechnen?
Eine Möglichkeit ist die Benutzung von logischen Schaltkreisen (Gates), etwa
für den Ausdruck Φ = ((x1 ∨ x2) ∧ x3) folgendermaßen:
❧
x1
x2 ❧ x3 ❧
❄
❥¬
❄
∨❥
❄
∧❥
Definition 4.3 (Boole’scher Schaltkreis) Ein Boole’scher Schaltkreis
(sogenannter Boolean Circuit) ist ein Graph C = (V, E) mit V = {1, . . . , n}.
Ein Knoten g aus V heißt auch Gate.
Jeder Knoten g ∈ V hat einen Eingangsgrad 0, 1, oder 2.
Die Sorte des Knotens s(g) ∈ {true, false, ∨, ∧, ¬}∪{x1, x2, . . . } . Die Sorten
Variablen
true, false, xi haben den Eingangsgrad 0, ¬ hat den Eingangsgrad 1 und ∨, ∧
haben den Eingangsgrad 2.
Der letzte Knoten n ist der Ausgabeknoten; dieser hat keine ausgehenden
Kanten (kann auf mehrere Knoten erweitert werden. Der Ausgangsgrad ist
für alle anderen Knoten beliebig.
Definition 4.4 (Wahrheitsbelegung) Eine Wahrheitsbelegung T zu einem
Boole’schen Schaltkreis C = (V, E) ist eine Abbildung von V in die
Menge {true, false}, für die folgendes gilt (g, g1, g2 ∈ V ):
1. T (g) = true, falls s(g) = true
2. T (g) = false, falls s(g) = false
3. T (g) ∈ {true, false}, falls g eine Variable ist (also s(g) ∈ {x1, x2, . . . })
4. T (g) = T (g1)XT (g2), falls s(g) = X ∈ {∨, ∧}, (g1, g) ∈ E und
(g2, g) ∈ E
5. T (g) = ¬T (g1), falls s(g) ∈ {¬} und (g1, g) ∈ E