Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

3 BEZIEHUNGEN ZWISCHEN KOMPLEXITÄTSKLASSEN 39
Bei der folgenden Berechnung stehen immer nur höchstens zwei Knoten der
Länge O(log n) auf einem Band: Platzbedarf O(log n).
Die Zahlen |S(h − 1)|, m ≤ |S(h − 1)|, |S(h)|, l ≤ |S(h)| benötigen ebenfalls
Platz O(log n).
Nichtdeterministische Berechnung:
1. l = 0
2. Erzeuge systematisch nacheinander alle Knoten v ∈ V (Wiedergebrauch
des Platzes)
3. Teste nichtdeterministisch, ob v ∈ S(h).
(a) m = 0
(b) Erzeuge nacheinander alle Knoten u ∈ V
(c) Teste nichtdeterministisch, ob u ∈ S(h − 1):
i. Rate (bei Wiedergebrauch des Platzes) u =
uh−1, uh−2, . . . , u0 = x.
ii. Falls (ui, ui+1) ∈ E für alle i: u ∈ S(h − 1), m := m + 1.
Falls dann u = v oder (u, v) ∈ E, dann ist v ∈ S(h). Setze
l := l + 1 und Goto 2. Wenn nicht, goto 3(b).
Falls (ui, ui+1) /∈ E für ein i, ist u /∈ S(h − 1) (kann falsch
sein!) Goto 3(b) (Nächster Knoten)
4. Alle Knoten getestet:
m < |S(h − 1)|: Berechnung falsch, goto 3.
m = |S(h − 1)|: Berechnung richtig und v /∈ S(h − 1) und für alle
u ∈ S(h − 1) ist (u, v) /∈ E. Es folgt, daß v /∈ S(h). Goto 2 (nächster
Knoten)
5. Alle Knoten getestet: |S(h)| = l
Bemerkungen:
1. L sei kontextsensitive Sprache (Klasse CS), d. h. Produktionen sind
nicht verkürzend. Ist ¯ L = Σ ∗ \L kontextsensitiv?
Wegen CS = NSPACE(n) = co-NSPACE(n) = co-CS lautet die Antwort:
ja.
Diese Frage war sehr lange offen.
2. Noch einige verbesserte Resultate: Sei f(n) eigentliche Komplexitätsfunktion.
Mit dem Theorem 3.1 gilt: TIME(f(n)) ⊂
TIME(f(n) log 2 f(n)).
f(n)
3. Zeit versus Platz: TIME(f(n)) ⊆ SPACE
log f(n)