Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

6 CONP 62
2. VALIDITY (Allgemeingültigkeit): Sei Φ ein Boole’scher Ausdruck.
Frage: Ist Φ allgemeingültig, d. h., ist Φ wahr für alle Belegungen?
Antwort ” yes“. Welches Zertifikat soll man angeben?
Antwort ” no“: Rate Belegung T und teste, ob T (φ) = false.
VALIDITY und coSAT hängen eng zusammen:
Das heißt:
Φ ist allgemeingültig ⇔ ¬Φ ∈ LcoSAT
Φ ∈ LVALIDITY ⇔ Für alle Belegungen T gilt: T (¬Φ) = false
Zur Erinnerung: coNP = { ¯ L|L ∈ NP} und natürlich ¯ L = Σ ∗ \L, NP =
{L| ¯ L ∈ coNP}.
Satz 6.1 Eine Sprache L ist NP-vollständig ⇔ ¯ L = Σ ∗ \L ist coNPvollständig.
Beweis: Sei L NP-vollständig, d. h. ∀M ∈ NP gilt: ∃R Reduktion mit
∀x ∈ Σ ∗ : (x ∈ M ⇔ R(x) ∈ L)
∀x ∈ Σ ∗ : (x ∈ M ⇔ R(x) ∈ L)
∀x ∈ Σ ∗ : (x ∈ ¯ M ⇔ R(x) ∈ ¯ L)
Das heißt, ∀ ¯ M ∈ coNP gilt: ∃R mit ∀x ∈ Σ ∗ x ∈ ¯ M ⇔ R(x) ∈ ¯ L, d. h., ¯ L
ist coNP-vollständig. q.e.d.
Gilt nun NP = coNP? Diese Frage ist noch offen! Falls P = NP, gilt NP =
coNP. Falls NP = coNP, folgt für die P-NP-Frage ersteinmal nichts.
Satz 6.2 Falls L coNP-vollständig und L ∈ NP, gilt coNP = NP.
Beweis: Sei M ∈ coNP. Dann existiert eine Reduktion von M auf L. Wegen
L ∈ NP folgt: M ∈ NP, also coNP ⊆ NP. Entsprechend gilt wegen Satz 6.1
und ¯ L ∈ coNP für alle M ∈ NP: M ≤ ¯ L ∈ coNP, womit NP ⊆ coNP folgt.
q.e.d.
Wir wissen: P ⊆ NP ∩ coNP. Wir wissen nicht: NP = coNP?
6.2 Primzahlen
Problem PRIMES: Sei n ∈ N. Frage: Ist n Primzahl? PRIMES ist in coNP.
Man findet leicht ein negatives Zertifikat n ∈ LPRIMES: Rate Teiler und
teste.
Problem coPRIMES (Composite Numbers): Sei n ∈ N. Frage: Gibt es a, b ∈
N, 1 < a, b < n mit ab = n? coPRIMES ist in NP.