Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

3 BEZIEHUNGEN ZWISCHEN KOMPLEXITÄTSKLASSEN 27
Nicht einmal berechenbar ist beispielsweise: χL mit L nicht entscheidbar.
Das kann zu sehr merkwürdigen Ergebnissen führen (Später: Theorem 3.3).
Daher schränken wir uns ein.
Definition 3.1 f : N → N heißt eigentliche (proper) Komplexitätsfunktion
⇔
1. ∀n ∈ Nf(n) ≤ f(n + 1)
2. Es gibt eine k-Band-Turing-Maschine mit E/A Mf = (K, Σ, δ, s) derart,
daß für jede Eingabe x mit |x| = n gilt:
(s, ⊲, x, ⊲, ɛ, . . . , ⊲, ɛ) M t f
→ (h, ⊲, x, ⊲, ⊓ i2 ik−1 f(n)
, . . . , ⊲, ⊓ , ⊲, ⊓ )
mit t ∈ O(n + f(n)) und ij ∈ O(f(n)), j = 2, . . . , k − 1.
(t und ij hängen nur von der Länge der Eingabe ab).
Das heißt, Mf berechnet für jede Eingabe x einen String von Quasi-Blanks
⊓ f(|x|) in O(|x| + f(|x|)) Schritten und O(f(|x|)) Platz.
Bemerkungen:
• Eigentliche Komplexitätsfunktionen sind beispielsweise: f(n) = c =
konstant, f(n) = n, f(n) = ⌈log n⌉, f(n) = n log n und f(n) = n 3 .
Falls f(n) /∈ N, dann ist ⌈f(n)⌉ gemeint.
• Sind f, g eigentliche Komplexitätsfunktionen, dann sind auch f + g,
f · g, 2 g eigentliche Komplexitätsfunktionen.
• Eigentliche Komplexitätsfunktionen sind auch √ n und n!.
Für eigentliche Komplexitätsfunktionen gelten im weiteren die Klassen:
• TIME (f) – deterministische Zeit
• SPACE (f) – deterministischer Platz
• NTIME (f) – nichtdeterministische Zeit
• NSPACE (f) – nichtdeterministischer Platz
f ist nicht nur spezielle Funktion, machmal sind auch Familien von Funktionen
gemeint, parametrisiert durch k:
• P = TIME (n k ) =
j>0 TIME (nj )
• NP = NTIME (n k ) =
j>0 NTIME (nj )
Weitere Klassen von Funktionen sind: