Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

5 NP-VOLLSTÄNDIGE PROBLEME 59
Für i = 0 gilt: V (W, 0) = 0, J = ∅. Offenbar gilt für i ≥ 0:
V (W, i + 1) = max{V (W, i), vi+1 + V (W − wi+1, i)}
(Falls W − Wi+1 < 0, dann V (W, i + 1) = V (W, i))
Berechnung von Wertematrix V (W × (n + 1)-Matrix) ist in O(nW ). Der
vorliegende Fall hat genau dann eine Lösung ( ” Ja“-Antwort), wenn es j, i
gibt mit V (j, i) ≥ k. q.e.d.
Das heißt aber nicht, P = NP! nW ist keine polynomielle Funktion der
Eingabe!
Im allgemeinen ist die Eingabe von Knapsack beschrieben durch 2n + 2
Zahlen (w1, . . . , wn, v1, . . . , vn, W, K). Nun kann beispielsweise W so groß
sein, daß W die Länge der Eingabe bestimmt. Nimmt man als Eingabelänge
n log W und W = 2 n an, dann ist nW = n2 log W = w 2 keine polynomielle
Funktion der Eingabelänge. Sind aber alle Gewichte und Werte von Stücken
durch ein Polynom p(n) beschränkt, dann ist die Lösung tatsächlich polynomiell.
Solche Algorithmen heißen pseudopolynomielle Algorithmen. Gibt
es solche Algorithmen immer?
Bei Problemen wie SAT, CLIQUE, NODE COVER traten bisher nur Zahlen
als Indizes auf, die polynomiell beschränkt waren; d. h., daß hier die Zahlen
von vornherein klein waren.
Es gibt aber auch Probleme wie etwa TSP(D), wo die Zahlen exponentiell
groß sein können (relativ zur Anzahl der Städte). Trotzdem finden wir dort
(derzeit) keine pseudopolynomiellen Lösungen. Den Grund werden wir etwas
später sehen.
Falls ein Problem PROB NP-vollständig bleibt, wenn es nur auf Fälle F
beschränkt wird, bei denen alle Zahlen ≤ p(n) für Eingabelänge n sind,
dann ist PROB NP-vollständig im strengen Sinne. (Manchmal auch stark
NP-vollständig)
Mengenprobleme: Jetzt noch zu einigen Mengenproblemen.
Ein wichtiges Basisproblem ist 3D-MATCHING (Tripartites Matching,
3DM): Seien B, G, H Mengen mit |B| = |G| = |H| = n und T eine Relation
mit T ⊆ B × G × H. Frage: Gibt es ein dreidimensionales Matching T ′ ⊆ T ,
d. h. ein T ′ mit |T ′ | = n und ∀(b1, g1, h1), (b2, g2, h2) ∈ T ′ b1 = b2, g1 = g2
und h1 = h2?
Man kann zeigen: 3SAT ≤ 3DM.
Folgende Probleme hängen mit 3DM eng zusammen:
SET COVERING: Sei F = {S1, S2, . . . , Sn}, Si ⊆ U und B ∈ N. Frage:
Gibt es eine Menge von höchstens B Mengen in F , deren Vereinigung gerade
U ist?