Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

3 BEZIEHUNGEN ZWISCHEN KOMPLEXITÄTSKLASSEN 35
≤ |Σ| (2k−2)f(n) Möglichkeiten für den Rest. Das heißt, daß die Gesamtzahl
der Konfigurationen beschränkt ist durch n·c f(n) n+f(n)
1 = clog 1 für
eine Konstante c1, die nur von M abhängt.
Sei nun G(M, x) der Konfigurationsgraph von M bei Eingabe von x,
wobei die Knoten alle möglichen Konfigurationen {Ci} symbolisieren
und eine Kante (C1, C2) genau dann existiert, wenn gilt: C1 M → C2.
Offenbar gilt: x ∈ L ⇔ es existiert ein Weg von der Startkonfiguration
C0 = (s, 0, ⊲, ɛ, . . . , ⊲, ɛ) zu einer Konfiguration der Form
Ci = ( yes“, i, . . . ). Das heißt also, daß das Entscheidungsproblem,
”
ob x ∈ L ist, reduziert werden kann auf REACHABILITY im Gra-
log n+f(n)
phen G(M, x) mit c1 Knoten.
Dafür gibt es aber einen polynomiellen Algorithmus mit O(m2 log m),
d. h. ≤ c2m3 log n+f(n)
bei Eingabe von m Knoten. Hier ist m = c , und
1
3 log n+f(n))
≤ (c2c3 1 )(log n+f(n)) . Mit c = c2c3 1 ergibt
somit c2m3 = c2c1 sich eine Laufzeit von clog n+f(n) .
Jede Konfiguration von M (jeder Knoten von G(M, x)) hat die Länge
O(log |K| + log n + kf(n)). Für den Erreichbarkeitsalgorithmus muß
in der Kantenmenge des Graphen G(M, x) nachgesehen werden, ob
eine Kante existiert. Dieses kann durch das explizite Erstellen der Adjazenzmatrix
und den Zugriff auf das entsprechende Matrixelement
3(log n+f(n))
geschehen. Das Erstellen der Matrix benötigt O c1 Zeit.
Die Adjazenzmatrix kann aber auch implizit erstellt werden: Für je
zwei Konfigurationen C und C ′ wird mit Hilfe von ∆ überprüft, ob
C M → C ′ gilt. Dies dauert O(log |K| log n + kf(n)) Zeit.
Insgesamt erhält man somit einen Zeitaufwand von O c log n+f(n) mit
einem geeignetem c. q.e.d.
Korollar 3.2 L ⊆ NL ⊆ P ⊆ NP ⊆ PSPACE
Beweis: Mit Theorem 3.4: etwa NL = NSPACE (log n) ⊆ TIME (c 2 log n ) =
TIME (n 2 log c ) ⊆ P.
Bemerkung: Aus Theorem 3.2 folgt L = SPACE (log n) ⊂ PSPACE =
SPACE (n k ). Das heißt, daß irgendwo in der obigen Hierachie ein ” echtes“
Enthaltensein gilt. Wir wissen derzeit nicht wo, und vermuten, daß überall
eine echte Teilmenge vorliegt.
3.3.1 Nichtdeterministischer Platz
Aus Theorem 3.3 folgt sofort, daß
log
NSPACE(f(n)) ⊆ TIME c
n+f(n)
log
⊆ SPACE c
n+f(n)