Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

4 REDUKTIONEN UND VOLLSTÄNDIGKEIT 47
• Start auf Position 1.
• Der Bandbegrenzer ⊲ wird nie erreicht, da Kopf auf ⊲ immer Bewegung
nach rechts impliziert und dieser Schritt dann übersprungen wird,
d. h., wir simulieren dann zwei Schritte durch einen.
• Falls Haltezustand ” yes“ oder ” no“ erreicht wird, wird immer an das
linke Ende des Bandes zurückgelaufen.
• Falls Zeit |x| k noch nicht erreicht ist, werden die Zeilen wiederholt.
Außerdem gilt für die Eingabe x: |x| ≥ 2. Eingaben der Länge |x| ≤ 1 werden
sofort entschieden.
Ein Halt erfolgt nach höchstens |x| k − 2 Schritten. Dies kann durch größeres
k immer erreicht werden.
Die zugehörige Tafel akzeptiert dann die Eingabe x genau dann, wenn
T |x| k −1,1 = ” yes“. Klar ist: M akzeptiert x ⇔ Tafel T akzeptiert x.
Theorem 4.1 CIRCUIT VALUE ist P-vollständig .
Beweis: CIRCUIT VALUE ist in P. Sei C = (V, E), V = {1, . . . , n}. Einfaches
Durchrechnen der Gates 1, . . . , n ergibt T (C) = T (n) in Zeit O(n+n 2 ).
Zu zeigen: Für jede Sprache L ∈P gibt es eine Reduktion R(x) von L auf
CIRCUIT VALUE mit ∀x ∈ X ∗ R(x) ist variablenfreier Schaltkreis und x ∈
L ⇔ R(x) hat Wert true.
Sei M eine 1-Band-Turingmaschine, die L in Zeit n k entscheidet. Für i = 0,
j = 0 oder j = |x| k −1 sind die Werte der Berechnungstafel a priori bekannt:
i = 0: Eingabe x und ⊔
j = 0: ⊲
j = |x| k − 1: ⊔
Sei nun i ≥ 1 und 1 ≤ j ≤ |x| k − 2. Der Wert von Tij hängt nur ab von den
Werten Ti−1,j−1, Ti−1,j sowie Ti−1,j+1.
i − 1, j − 1 i − 1, j
i, j
i − 1, j + 1
Falls keines der Vorgängerfelder mit einem Zustand markiertes Feld ist, so
ist Ti,j = Ti−1,j−1. Falls ein Vorgängerfeld mit einem Zustand markiert ist,
so ergibt sich der neue Wert aus der Übergangstafel aus M. Sei Γ = Σ × K
und m = ⌈log |Γ|⌉ + 1. Jedes γ ∈ Γ kann als m-Tupel (s1, . . . , sm), si ∈
{0, 1} dargestellt werden. Die Berechnungstafel wird nun als Tafel binärer
Eingänge Sijl gesehen (0 ≤ i ≤ |x| k − 1, 0 ≤ j ≤ |x| k − 1 und 1 ≤ l ≤ m).