Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

5 NP-VOLLSTÄNDIGE PROBLEME 52
MAX2SAT : Sei Φ Boole’scher Ausdruck, wobei alle Klauseln höchstens
zwei Literale enthalten, und k eine ganze Zahl. Gibt es eine Belegung T
derart, daß mindestens k Klauseln erfüllt werden?
Theorem 5.1 MAX2SAT ist NP-vollständig.
Beweis:
1. MAX2SAT ∈ NP: Rate Belegung und teste!
2. 3SAT ≤ MAX2SAT:
Betrachte zunächst für eine Klausel (x ∨ y ∨ z) folgendes Produkt von
zehn Klauseln ( ” ∧“ wird als Produkt interpretiert): (*)
(x)(y)(z)(w)
(¬x ∨ ¬y)(¬y ∨ ¬z)(¬z ∨ ¬x)
(x ∨ ¬w)(y ∨ ¬w)(z ∨ ¬w)
Wieviele Klauseln können in diesem Ausdruck erfüllt werden?
Beachte: (*) ist symmetrisch bezüglich x, y, z, aber nicht bezüglich w.
Somit müssen nur die Fälle
(a) 3 Variablen aus {x, y, z} sind true
(b) 2 Variablen aus {x, y, z} sind true
(c) 1 Variable aus {x, y, z} ist true
(d) Keine Variable aus {x, y, z} ist true
betrachtet werden.
(a) T (x) = T (y) = T (z) = true, T (w) = true oder = false. Dann
können maximal sieben Klauseln erfüllt werden.
T (w) = true: Zeile 1: 4, Zeile 2: 0, Zeile 3: 3
T (w) = false: Zeile 1: 3, Zeile 2: 0, Zeile 3: 3
(b) T (x) = false, T (y) = T (z) = true, T (w) = true oder = false. Es
können wiederum maximal sieben Klauseln erfüllt werden:
• T (w) = true: Zeile 1: 3, Zeile 2: 2, Zeile 3: 2
• T (w) = false: Zeile 1: 2, Zeile 2: 2, Zeile 3: 3
(c) Nur eines, etwa T (x) = true, T (y) = T (z) = false, T (w) = true
oder false: Sieben Klauseln erfüllbar.
(d) T (x) = T (y) = T (z) = false, T (w) = false oder = true ⇒ sechs
Klauseln erfüllbar.