Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

5 NP-VOLLSTÄNDIGE PROBLEME 55
NODE COVER: Sei G = (V, E) ein Graph, k ∈ N. Frage: Gibt es eine
Überdeckung der Größe ≤ k? Eine Knotenüberdeckung ist eine Teilmenge
U ⊆ V mit |U| ≤ k derart, daß für alle [u, v] ∈ E gilt: u ∈ U oder v ∈ U.
Theorem 5.3 CLIQUE und NODE COVER sind NP-vollständig.
Beweis:
1. INDSET ≤ CLIQUE: Sei G = (V, E) ein Graph und k ein Fall von
INDSET. Wähle die Relation R(G, k) = ¯ G mit k Fall von CLIQUE.
¯G = (V, Ē) ein Graph mit Ē = {[u, v]|[u, v] ∈ E} ist. I ist unbhängig
in G genau dann, wenn I einen vollständigen Untergraphen in ¯ G impliziert.
2. I ist unabhängig in G = (V, E), |I| = k genau dann, wenn V − I eine
Überdeckung der Größe |V | − k in G ist.
” ⇒“: Für alle [a, b] ∈ E gilt: a ∈ V − I oder b ∈ V − I (sonst a, b ∈ I,
was ein Widerspruch zur Unabhängigkeit wäre)
” ⇐“: V − I ist Überdeckung. Also gilt für alle a, b ∈ I: [a, b] ∈ E
(andernfalls wäre a ∈ V − I oder b ∈ V − I).
5.3 Mengen- und Zahlenprobleme
Bisher spielten Zahlen für uns fast nur als Indizes eine Rolle (Ausnahme ist
etwa TSP). Allerdings waren bei der Reduktion die Distanzen auch nur 1
oder 2. Es gibt aber eine Anzahl interessanter Probleme, bei denen (große)
Zahlen eine große Rolle spielen.
SUMME VON UNTERMENGEN (SUM): Sei A = {a1, . . . , an} eine
Teilmenge von N und M ∈ N. Frage: Existiert eine Menge B ⊆ A mit
ai∈B ai = M?
Theorem 5.4 SUM ist NP-vollständig.
Beweis:
1. SUM ∈ NP: Rate B und teste.
2. Wir zeigen NODE COVER ≤ SUM: Sei R(G, k) = A; M mit
G = (V, E), V = {v1, . . . , vn}, E = {e1, . . . , em}, A =
{a1, . . . , an, b1, . . . , bm}. Für alle j = 1, . . . , n gilt:
aj = 4 m +
m
ɛij · 4 i−1
1 vj ist Knoten von ei
mit ɛij =
0 sonst
i=1
Für alle i = 1, . . . , m gilt: bi = 4 i−1 und M = k · 4 m + 2 · m
i=1 4i−1 .
Behauptung: G hat Knotenüberdeckung S ⊆ V mit |S| ≤ k genau