Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

2 TURING-MASCHINE 21
Definition 2.8 Sei M eine Turing-Maschine mit k Bändern.
1. Band 1 ist das Eingabeband, von dem nur gelesen wird, d. h. gelesene
Symbole σ werden wieder mit sich selbst überschrieben. Außerdem
soll der L/S-Kopf des ersten Bandes nicht in den Bereich der Blanks
hineinwandern (wird ⊔ gelesen, dann D1 =←)
2. Band k ist nur Ausgabeband, auf dem der L/S-Kopf nie nach links
bewegt wird (d. h. Dk =←).
Eine derartige Turing-Maschine heißt Turing-Maschine mit Ein- und Ausgabe
(TM mit E/A).
Satz 2.1 Jede k-Band-Turing-Maschine M, die in Zeit f(n) arbeitet, kann
durch eine (k + 2)-Band-Turing-Maschine mit E/A M ′ in Zeit O(f(n)) simuliert
werden.
Beweis: M ′ kopiert die Eingabe auf Band 2 und arbeitet dann auf den
Bändern 2 bis k + 1 wie M. Nach einem ” Stop“ von M kopiert sie die
Ausgabe auf Band k + 2. q.e.d.
Definition 2.9 Es gelte für eine k-Band-Turing-Maschine M bei Eingabe
M ∗
x (s, ⊲, x, ⊲, ɛ, . . . , ⊲, ɛ) → (H, w1, u1, . . . , wk, uk) mit H ∈ {h, yes“, no“}
” ”
1. Falls M eine Turing-Maschine mit Ein- und Ausgabe ist, dann ist der
Speicherbedarf von M bei Eingabe von x k−1 i=2 |wiui|.
Falls M keine Turing-Maschine mit Ein- und Ausgabe ist, dann ist
der Speicherbedarf k i=1 |wiui|.
Falls für ein f : N → N für alle Eingaben x der Speicherbedarf ≤
f(|x|) ist, dann arbeitet M mit Platzbedarf f(n) (oder einfach mit
Platz f(n))
2. Sei L eine Sprache. L ∈ SPACE (f(n)) ⇔
∃ Turing-Maschine mit Ein- und Ausgabe (TM mit E/A) M, die L
entscheidet und mit Platz f(n) arbeitet. SPACE ist eine Platzkomplexitätsklasse.
Es gibt Sprachen, die in SPACE (log n) liegen. REACHABILITY liegt z. B.
in SPACE (log 2 n).
Analog zum Linearen Speedup gibt es
Theorem 2.3 Sei L ∈ SPACE (f(n)). Dann gilt für alle ɛ > 0: L ∈ SPACE
(2 + ɛf(n)).
Beweis: ähnlich zu Beweis von Theorem 2.2 (Seite 18).