Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

5 NP-VOLLSTÄNDIGE PROBLEME 57
tenüberdeckung mit |S| = k.
M = k · 4 m + 2
=
aj∈B1
m
4 i−1
i=1
aj +
=
4 m +
vj∈S
= |S| · 4 m +
bi∈B2
m
i=1
bi
ɛij4 i−1
+
bi∈B2
⎜
m ⎜
⎜ ɛij 4
⎜
⎝vj∈S
i−1
⎟ +
⎟
⎠
i=1
⎛
⎞
≤2
≤ m i=1 3·4i−1 =4m−1 bi
m
|{bi} ∩ B2| ·4
≤1
i−1
Also gilt: |S| = k, da der Rest < 4m ist. Außerdem gibt es bei der
Summation keine Überträge, d. h. für alle i = 1, . . . , m gilt:
2 =
ɛij + |{bi} ∩ B2|
vj∈S
≤1
⇒ ∀i
ɛij ≥ 1
vj∈S
⇒ ∀i ∃vj ∈ S mit ɛij ≥ 1
i=1
⇒ ∀i ∃vj ∈ S mit vj ist Knoten von ei
⇒ S ist Überdeckung mit |S| = k
q.e.d.
Mit SUM kann man zeigen, daß eine Reihe von weiteren Zahlenproblemen
NP-vollständig sind.
PARTITION: Sei A = {a1, . . . , an} eine Teilmenge von N. Frage: Existiert
eine Menge D ⊆ A (Partitionsmenge) mit
ai∈D ai =
aj∈A\D aj =
1 n 2 i=1 ai?
Es gilt: SUM ≤ PARTITION, denn: Sei A wie oben, M ein Fall aus
SUM. Dann kann man folgende Relation R aufstellen: R(A, M) = A ′ =
A ∪ {an+1, an+2}, wobei an+1 = M + 1 und an+2 = n i=1 ai + 1 − M sind.
Man sieht sofort, daß n+2 i=1 ai = 2 n i=1 ai + 2.
Sei nun B ⊆ A mit
ai∈B ai = M (also Lösung von SUM). Setze D =
B ∪ {an+2} ⊆ A ′ .