Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

5 NP-VOLLSTÄNDIGE PROBLEME 58
Dann gilt (*):
ai =
ai + an+2 = M +
ai∈D
ai∈B
n
ai + 1 − M =
i=1
n
ai + 1
also ist D Partitionsmenge.
Sei D Partitionsmenge von A ′ . O.b.d.A. ist an+2 ∈ D (sonst ∈ A ′ \D). Also
ist an+1 ∈ D, weil sonst
ai∈D ai ≥ an+1 + an+2 = n i=1 ai + 2 > ai + 1
(keine Partition).
Setze B = D\{an+2}. Mit (*) folgt sofort, daß
n
n
ai = ai + 1 − ai + 1 − M = M
ai∈B
i=1
a∈D a
Rucksackproblem (KNAPSACK): Sei X = {w1, . . . , wn} ⊆ N eine
Menge von Gewichten bzw. Größen von Stücken, Y = {v1, . . . , vn} ⊆ N
eine Menge, die den Wert (value) dieser Stücke angibt, und seien W eine
Gewichts- und K eine Kostenschranke. Frage: Existiert eine Menge
I ⊆ {1, . . . , n} mit
i∈I wi ≤ W und
i∈I vi ≥ K; anders ausgedrückt:
kann ich einen Rucksack so beladen, daß ich einen bestimmten Mindestwert
mitbekomme?
PARTITION ≤ KNAPSACK, denn:
Sei R({a1, . . . , an} ) = X, Y, W, K mit wi = vi = 2ai für i = 1, . . . , n und
A
W = K = n i=1 ai.
Ist n i=1 ai ungerade, so gibt es keine Lösung für beide Probleme.
Ist n i=1 ai gerade, so gilt:
ai∈D
ai = 1
2
i=1
n
ai ⇔
wi =
vi =
i=1
i∈I
i∈I
i=1
n
ai =
2ai
mit I = {i|ai ∈ D}.
Das Rucksackproblem und auch das Partitionsproblem haben auf den ersten
Blick verblüffend einfache Lösungen.
Satz 5.3 Jeder Fall von KNAPSACK mit n Stücken und Gewichtsschranke
W kann in O(nW ) Schritten gelöst werden.
Beweis: Sei V (W, i) maximaler Wert, der erreicht werden kann mit Stücken
aus den ersten i Stücken, die genau auf Gewicht W aufsummiert werden.
⎧
⎫
⎨
⎬
V (W, i) = max vj
⎩ J
⊆ {1, . . . , i}, wj = W
⎭
j∈J
i=1
j∈J
i∈I