Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

6 CONP 61
Definition 6.1 Sei R ⊆ Σ ∗ × Σ ∗ eine binäre Relation auf Wörtern.
R heißt polynomiell entscheidbar ⇔ ∃ deterministische Turing-Maschine,
die die Sprache {x; y|(x, y) ∈ R} in polynomieller Zeit entscheidet.
R heißt polynomiell balanciert ⇔ ∃k ∀(x, y) ∈ R gilt |y| ≤ |x| k .
Theorem 6.1 Sei L ⊆ Σ ∗ . L ∈ NP ⇔ Es gibt eine polynomiell entscheidbare
und polynomiell balancierte Relation R derart, daß
L = {x|∃y ∈ Σ ∗ mit (x, y) ∈ R}
Beweis:
” ⇐“: Falls R existiert, dann wird L von folgender nichtdeterministischer
Turing-Maschine M entschieden:
Für Eingabe x rät M ein y (erzeugt nichtdeterministisch ein y) mit |y| ≤ |x| k .
Für das Wort x; y wird dann die deterministische Turing-Maschine für R benutzt,
um zu testen, ob (x, y) ∈ R. M akzeptiert, falls (x, y) ∈ R, und weist
zurück, falls (x, y) ∈ R. Das heißt, M akzeptiert x in nichtdeterministisch
polynomieller Zeit genau dann, wenn x ∈ L.
” ⇒“: Sei L ∈ NP. Das heißt, es existiert eine nichtdeterministische Turing-
Maschine N, die L in Zeit |x| k für ein k entscheidet. Definiere R wie folgt:
(x, y) ∈ R ⇔ y ist eine Kodierung einer akzeptierenden Berechnung von N
bei Eingabe x. (Dies kann z. B. die Aneinanderreihung aller Konfigurationen
y = C0, C1, . . . , C” yes“
für ein i ≤ |x| k einer akzeptierenden Berechnung sein.
i
Jedes |Ci| ∈ O(|x| k ), also y ∈ O(|x| k · |x| k ) = O(|x| 2k )).
R ist polynomiell balanciert, da y ≤ c|x| 2k . R ist auch polynomiell entscheidbar,
da in linearer Zeit (in Bezug auf das Wort x; y) getestet werden kann,
ob y tatsächlich eine akzeptierende Berechnung von x beschreibt. Da N L
entscheidet, gilt L = {x|(x, y) ∈ R} q.e.d.
Bemerkung: y wird dabei auch Zertifikat, Zeuge oder auch Testwort genannt.
Es gibt immer einen derartigen Zeugen, falls x ∈ L, d. h., falls die
Antwort für unser Entscheidungsproblem ” yes“ lautet.
In coNP sind gerade die Probleme, für die es negative Zertifikate gibt, die
bezeugen, daß ein Fall nicht dazugehört bzw. die Antwort ” no“ hat. Das
heißt, im Fall der negativen Antwort gibt es immer ein kurzes (polynomielles)
Zertifikat.
Beispiele:
1. co-HAMILTON PATH (coHP): Sei G = (V, E) ein Graph. Frage: Hat
G keinen Hamilton’schen Weg?
Für G ∈ LcoHP ist es schwierig, ein Zertifikat zu finden. Aber für
G ∈ LcoHP (d. h. G ∈ LHP) hat man ein Zertifikat, das leicht zu testen
ist: rate Pfad v1, . . . , vn und teste.