Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

6 CONP 63
Satz 6.3 (Fermat) Sei p eine beliebige ungerade Zahl ∈ N.
p ist prim ⇔
∃r, 1 < r < p mit
1. r p−1 = 1 mod p
2. r p−1
q = 1 mod p für alle Primzahlen q, die p − 1 teilen
Theorem 6.2 (Pratt) PRIMES ∈ NP ∩ coNP.
Beweis: Zu zeigen bleibt: PRIMES ∈ NP.
Mit dem Satz von Fermat (Satz 6.3) können wir ein Zertifikat raten:
Schritt 1: Rate r und teste, ob r p−1 = 1 mod p.
Schritt 2: Rate q1, . . . , qk, Primfaktoren von p−1. Teste, ob q1q2 . . . qk = p−1.
Teste für alle i = 1, . . . , k, ob qi prim. Das heißt, das Zertifikat wird rekursiv
aufgebaut: C(p) = (r; q1, C(q1), q2, C(q2), . . . , qk, C(qk))
Beispiel:
Länge von C(p):
C(67) = (2; 2, C(2), 3, C(3), 11, C(11))
C(11) = (8; 2, C(2), 5, C(5))
|C(p)| ≤ |r| +
C(5) = (3; 2, C(2), 2, C(2))
C(3) = (2, C(2))
C(2) = (1)
k
i=1
(|qi + C(qi)|) + 2k + 2
Trennzeichen, Klammern
Behauptung: |C(p)| ≤ 5 log 2 p.
Für p = 2 bzw. p = 3 ist die Behauptung klar: |C(2)| = |(1)| = 3
Weiterhin ist |r| ≤ log p, und für die Anzahl k der Teiler von p − 1 gilt
k < log p. Außerdem ist q1 = 2 und qi ≥ 2. Damit ist Πqi ≥ 2 k und
somit k < log p. Da Π k i=1 qi = p − 1, q1 = 2 und |qi| ≤ log qi + 1 gilt, folgt
k
i=1 |qi| ≤ 2 log p und k
i=2 log qi ≤ log p−1
2 .