Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

3 BEZIEHUNGEN ZWISCHEN KOMPLEXITÄTSKLASSEN 29
3.2 Hierarchiesätze
Sie kennen unter Umständen die Chomsky-Hierarchie REG < KFR < KSS
< REKURSIVAUFZ. Hier geht es um quantitative Hierarchien f(n) ≥ n,
f(n) eigentliche Komplexitätsfunktion. Es werden nur eigentliche Komplexitätsfunktionen
f(n) mit f(n) ≥ n betrachtet (Ausnahme: Theorem 3.3)
Definition 3.4 (Haltesprache) Eine Haltesprache Hf ist wie folgt definiert:
Hf = {M; x|M ist Beschreibung einer deterministischen Turing-Maschine
M akzeptiert x in höchstens f(|x|) Schritten}
Das heißt, wir betrachten alle Beschreibungen von Turing-Maschinen. Dabei
nehmen wir an, unser Alphabet Σ sei groß genug: 0, 1, ” (“, ” ;“, usw. seien
Symbole aus Σ.
Wie kann man nun eine Turing-Maschine für Hf konstruieren?
Einschub: Eine angemessene einheitliche Kodierung der Beschreibung
von Turing-Maschinen ist: M = (K, Σ, δ, s) mit:
• Σ = {1, . . . , |Σ|} (Zahlen, alle binär)
• K = {|Σ| + 1,
|Σ| + 2, . . . , |Σ| + |k|}
≡s
• Zahlen |k| + |Σ| + 1, . . . , |k| + |Σ| + 6 für spezielle Symbole ←, →, –, h,
” yes“, ” no“
• alle verwendeten Zahlen werden dargestellt durch Strings der Länge
⌈log(|k| + |Σ| + 6)⌉ Bits mit führenden Nullen
• δ wird dargestellt als Sequenz von Paaren ((q, σ1, . . . , σk), (p, ρ1, D1,
ρ2, D2, . . . , ρk, Dk ))
• ” (“ und ” )“ sind als Symbole vorhanden
Das heißt also, daß ein String M = (|Σ|)(|K|)δ ∈ Σ eine Turing-Maschine
beschreibt.
Für die folgende Sätze und Lemmata benötigen wir noch eine universelle
Turing-Maschine U, die sämtliche Turing-Maschinen M simulieren kann.
Dabei wird die Beschreibung vom jeweiligen M mit einer Eingabe x kombiniert
(M; x) und als Eingabe von U verstanden: U(M; x) = M(x).
Simulation eines Schrittes von M ((q, w, u) M → (p, w ′ , u ′ )) auf U wie folgt:
U ∗
(sim, ⊲, M; x, ⊲w, q; u) → (sim, ⊲, M; x, ⊲w ′ , p; u ′ ). U kennt das letzte Symbol
von w und den Zustand q von M. U sucht in der Beschreibung von M den