Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

3 BEZIEHUNGEN ZWISCHEN KOMPLEXITÄTSKLASSEN 31
• kopiert (q, σ1, . . . , σk) hinter Beschreibung von M (Scan auf Band
2)
• sucht in Beschreibung von M entsprechenden Übergang (p, ρ1,
D1, . . . , ρk, Dk) und kopiert ihn ans Ende (Scan Band 3)
• ändert Bandinhalt 2 entsprechend (Scan Band 2)
Band 4: Nach Simulation eines Schrittes von M wird die Uhr“ um
”
einen Schritt nach rechts versetzt.
Zeitaufwand: Für kM-Band-Maschine M O(lMk 2 Mf(|x|)), wobei lM
die maximale Länge der Beschreibung von Zuständen und Symbolen
von M und kM die Anzahl der Bänder von M ist. lMk 2 M ≤ f(n), da
≤ |M| ≤ n.
lM k 2 M
≤ lkM
M
Falls Uf feststellt, daß M den Input x in f(|x|) Schritten akzeptiert, dann
akzeptiert Uf auch M; x. Falls M x nicht akzeptiert oder die ” Uhr“ abgelaufen
ist, weist Uf den Input zurück.
Zeitaufwand: O(f(n) · f(n) 2 ) = O(f(n) 3 ).
Mit dem Theorem über linearen Speed-up (Theorem 2.2) kann Uf so modifiziert
werden, daß höchstens f(n) 3 Schritte benötigt werden.
Lemma 3.2 Hf /∈ TIME 1 n
2f(⌊ 2 ⌋) , f(n) ≥ 10n + 4
Beweis: (durch Widerspruch)
Angenommen, es gibt Turing-Maschine MHf , die Hf in f(⌊ n
2 ⌋) entscheidet.
Dann konstruiere folgende Maschine Df (Diagonalisierung):
Df (M) : if MHf (M; M) = ” yes“ then ” no“ else ” yes“
Falls MHf eine k-Band-Turing-Maschine ist, dann ist Df eine (k + 1)-Band-
Turing-Maschine mit:
1. Die Eingabe x von Band 1 wird als x; x in |x| + 1
1. Kopie
|x| = 3|x| + 1 Schritten auf Band 2 kopiert.
2. Kopie
2. Dann Rücklauf auf Band 2 in 2|x| + 1 Schritten.
+ |x|
zurücklaufen
Insgesamt werden also 5|x| + 2 Schritte benötigt.
Dann auf den Bändern 2 bis k + 1 Arbeit wie MHf . Bei Eingabe M (Maschinenbeschreibung)
mit |M| = n braucht Df also
n
5|M| + 2 + 1/2f ≤ 1/2f(n) + 1/2f(n) = f(n)
2
Schritte. Das obige ≤-Zeichen gilt, da f(n) ≥ 10n + 4 und f monoton steigende
Funktion (da eigentliche Komplexitätsfunktion).
Gilt: Df (Df)?
+