Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

5 NP-VOLLSTÄNDIGE PROBLEME 50
Das heißt, C hat jetzt 3m + 1 Eingaben statt 3m.
R(x) kann wieder in Platz O(log |x|) erstellt werden, da nur Zahlen ≤ |x| k
in die Berechnung eingehen.
Es folgt sofort, R(x) ist erfüllbar, d. h., es gibt Sequenz von Eingaben
c0, . . . , c |x| k −1, so daß genau dann Wert (R(x)) = true ist, wenn x ∈ L
gilt. q.e.d.
Anmerkung: Wenn eine Belegung c0, . . . , c |x| k −1 erst einmal festgelegt ist,
dann haben wir nur noch ein CIRCUIT VALUE Problem zu lösen. (Es gibt
aber exponentiell viele Belegungen!)
Bemerkungen:
• Oft wird von den Transformationen nur verlangt, daß sie in polynomieller
Zeit ausführbar sind (Karp) (für Klassen P, NP und aufwärts)
bzw. in log n Platz für P und darunter.
• Auch nichtdeterministische Reduktionen sind untersucht worden.
5 NP-vollständige Probleme
Wir haben nun zwei NP-vollständige Probleme kennengelernt: SAT und
CIRCUIT SAT. Im folgenden werden weitere vorgestellt.
Worin liegt die Bedeutung der NP-vollständigen Probleme?
1. Sei L NP-vollständig. Falls L ∈ P gilt, würde P = NP folgen.
Ein Nachweis, daß auch nur ein NP-vollständiges Problem in P liegt,
ist bisher nicht erbracht und ist nach heutiger Kenntnis eher unwahrscheinlich.
2. NP-Vollständigkeit ist selbst eine Eigenschaft von Probleme und Sprachen,
die diese charakterisieren. Sie gelten als ” sehr schwer“ lösbar.
Wenn wir von einem NP-vollständigem Problem den bestmöglichen
Rechenaufwand auch nicht exakt kennen, so können wir doch sagen,
daß alle schwierigen Probleme in NP etwa gleich schwer sind (Relativ
zur Reduktion mit Platzaufwand O(log n)).
Sei L ∈ NP und M NP-vollständig. Falls M ≤ L gilt, dann ist L aufgrund
der Transitivität der Reduktion NP-vollständig.
Woher weiß man nun, daß ein Problem NP-vollständig ist?
• Nachsehen in Büchern
• Beweisen mit folgendem Beweismuster: PROB liege vor
1. PROB ∈ NP