Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

3 BEZIEHUNGEN ZWISCHEN KOMPLEXITÄTSKLASSEN 33
Betrachte alle Turing-Maschinen M0, M1, M2, . . . in der lexikographischen
Ordnung ihrer Kodierungen.
Für beliebige i, k ≥ 0 sei folgende Eigenschaft definiert: P (i, k) heißt, daß
für alle Maschinen Mj, 0 ≤ j ≤ i, gilt: Mj hält in weniger als k Schritten
oder Mj hält nach mehr als 2k + 1 Schritten oder Mj hält überhaupt nicht.
P (i, k) kann folgendermaßen entschieden werden: Simuliere alle Maschinen
Mj, j ≤ i, auf allen Eingaben der Länge i bis zum Schritt 2k + 1.
Definiere dazu f(i) für irgendein i ≥ 0 und betrachte Folge von k’s: k1 =
2i, kj = 2kj−1 + 1 für j = 2, 3, . . . .
Sei nun N(i) = i j=0 |Σj| i mit Σj aus Mj. N(i) ist die Anzahl aller Inputs
der Länge i für die ersten i + 1 Maschinen. Jeder Input x der Länge i
kann höchstens ein P (i, kj) unwahr machen (M ∈ {M0, . . . , Mi} hält auf x
zwischen kj und 2kj Schritten).
(*) Dann gibt es aber ein l ≤ N(i)+1, so daß P (i, kl) wahr ist. Sei f(i) = kl,
d. h. P (i, f(i)) ist wahr (f(i) kann schnell wachsen!).
Sei nun L ∈ TIME(2f(n) ). Das heißt, daß L von einer Turing-Maschine Mj
in 2f(n) Schritten entschieden wird.
Für jeden Input x mit |x| ≥ j (das sind alle bis auf endlich viele) hält Mj
nicht zwischen f(|x|) und 2f(|x|) Schritten.
Nun war f(n) war für n ≥ j aber gerade so definiert, daß Mj berücksichtigt
wurde (siehe (*)).
Da Mj aber nach höchstens 2f(|x|) Schritten hält, muß Mj bei Eingabe von
|x| schon nach höchstens f(|x|) Schritten halten.
Was geschieht nun mit den Inputs der Länge < j?
Ändere Mj derart in M ′ j ab, daß alle Eingaben der Länge < j erkannt werden
(1 Scan) und dann rückwärts das Word einlesen sowie Zustände der Form
K × [Σl ], l < j, zufügen. Dies geht in 2|x| Schritten.
Da f(i) ≥ 2i gilt, gilt auch TIME(f(n)) = TIME 2f(n) . q.e.d.
Bemerkungen:
• Beachte das Größenwachstum von f(n) und die riesige Anzahl von
Zuständen von M ′ j !
• Konstruktion ginge auch mit 3 f(n) und anderen schnell genug wachsenden
Funktionen.
• Für den Platz kann man ähnliche Resultate erzielen.
3.3 Die Erreichbarkeitsmethode
Das Hierachie-Theorem über deterministischen Platz und deterministische
Zeit gehörten mit zu den ersten Resultaten, die in der Komplexitätstheorie
bewiesen wurden.