Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

4 REDUKTIONEN UND VOLLSTÄNDIGKEIT 44
Als Wahrheitsbelegung des Schaltkreises C wird die Belegung des Ausgangsknotens
definiert, also: T (C) := T (n).
Bemerkung: Um dies auch formal tun zu dürfen, muß der Definitionsbereich
von T erweitert werden.
CIRCUIT VALUE: Sei C = (V, E), V enthält die freien Variablen, und die
Eingabeknoten sind nur true und false. Frage: Ist T (C) = true?
CIRCUIT SAT: Sei C = (V, E). Frage: Gibt es eine Wahrheitsbelegung T
der Eingabeknoten (Variablen) derart, daß T (C) = true? (Ist C erfüllbar?)
Beispiel 4.2 C-VAL = CIRCUIT VALUE ≤ CIRCUIT SAT = C-SAT
Beweis: Die benötigte Reduktion ist R ≡ id.
Alle Schaltkreise, die variablenfrei sind, sind Fälle von CIRCUIT VALUE.
Die Antwort für diese Fälle ist gleich sowohl für C-VAL als auch für C-SAT.
CIRCUIT SAT ist also Verallgemeinerung von C-VAL.
Beispiel 4.3 CIRCUIT SAT ≤ SAT
Beweis: Sei C = (V, E) und g ein Gate in V . Die benötigte Reduktion ist
R(C) = Φ.
Es ergibt sich folgende Tabelle:
C Klauseln in Φ
Variable x (¬g ∨ x) ∧ (g ∨ ¬x)
true (g)
false (¬g)
NOT-Gate mit Vorgänger h (¬g ∨ ¬h) ∧ (g ∨ h) (= XOR (g, h))
OR-Gate (¬h ∨ g) ∧ (¬h ′ ∨ g) ∧ (h ∨ h ′ g❥ ∨ ¬g)
✠ ❘
h h ′
AND-Gate (¬g ∨ h) ∧ (¬g ∨ h ′ ) ∧ (¬h ∨ ¬h ′ ∨ g)
g❥ ✠ ❘
h h ′
Output Gate (g)
Es gilt: C erfüllbar ⇔ R(C) erfüllbar.
Seien A, B, C Probleme, für die gelte: A ≤ B: B ist mindestens genauso
schwer wie A; und B ≤ C: B ist mindestens genauso schwer wie C. Gilt
dann auch A ≤ C?
Ist unsere Sprechweise, die Transitivität beinhaltet, überhaupt gerechtfertigt?
Satz 4.2 Seien L1 ≤ L2 und L2 ≤ L3. Dann gilt auch L1 ≤ L3.