Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

2 TURING-MASCHINE 17
• ⊳ – markiert Ende einer Bandinschrift
• ⊳ ′ – siehe weiter unten...
Eine Konfiguration von M der Form (q, w1, u1, . . . , wk, uk) wird simuliert
durch eine Konfiguration von M ′ der Form (q, ⊲, w ′ 1 u1 ⊳ w ′ 2 u2 ⊳ . . . w ′ k uk ⊳ ⊳).
Dabei entsteht w ′ i aus wi wie folgt: ⊲ wird durch ⊲ ′ und σi (letztes Symbol
von wi) durch σi ersetzt, ⊳⊳ signalisiert das Ende des Strings von M ′ .
Anfang der Simulation: Die Eingabe ⊲x wird geändert in ⊲⊲ ′ x⊳⊲ ′ ⊳ . . . ⊲ ′ ⊳
k−1 mal
⊲ ′ ⊳ steht für ein leeres i-tes Band, i ≥ 2. Diese Eingabeänderung kann erreicht
werden durch: ⊲⊔x (Verschieben, siehe frühere Maschinen) und Schreiben
von ⊲ ⊲ ′ x. Dies erfordert 3 + 1 + 2(k − 1) = 2(k + 2) neue Zustände.
Ein Übergang von M wird im wesentlichen durch zwei Scans von links nach
rechts und zurück in M ′ simuliert.
• Beim ersten Scan merkt sich M ′ die markierten Symbole (σi entspricht
i-ter Kopf liest σi). Ein Zustand in M ′ ist [q, σ1, . . . , σk], wobei q der
Originalzustand aus M ist.
• Beim zweiten Scan wird in Übereinstimmung mit der Übergangsfunktion
δ von M im i-ten Bandabschnitt σi überschrieben und entsprechend
der Kopfbewegung ein neues Zeichen markiert.
Problem: Falls im i-ten Bereich der i-te Kopf über das bisherige Ende hinaus
will, d. h. der Kopf zeigt im i-ten Band der Originalmaschine M auf ⊔.
Hierzu markiere an all diesen Stellen das ” Bandende“ im Bereich mit ⊳ ′ . Für
jede dieser Stellen muß dann ein ⊔ eingefügt werden und der Rest um eine
Position nach rechts verschoben (analog zu unserer ersten Maschine).
Die Simulation fährt solange fort, bis M hält. Dann löscht M ′ alle Teilstrings
bis auf den letzten und hält.
Aufwand bei Eingabe von x: M hält innerhalb Zeit f(|x|), d. h. auf keinem
Band von M steht ein Wort länger als f(|x|), da in dieser Zeit höchstens
f(|x|) Symbole betrachtet und geschrieben werden können. Also ist die
Länge des Strings auf Band von M ′ ≤ k(f(|x|) + 1) + 2 (wegen der zusätzlichen
⊳’s und ⊲ am Anfang). Das heißt, daß für die beiden oben erwähnte
Scans 4k(f(|x|) + 1) + 8 Schritte benötigt werden.
Mit dem Einfügen von problematischen ” ⊔“ ’s in jedem der k Teilbereiche
summieren sich die Anzahl der Schritte auf 2k(k(f(|x|) + 1)) + 2), d. h., es
werden O(k 2 f(|x|) 2 ) Schritte in M ′ für jeden Schritt in M benötigt.
Da k aber konstant und unabhängig von |x| ist, ist der Gesamtzeitbedarf in
O(f(|x|) 2 . q.e.d.
Bemerkung: Dieses Theorem demonstriert also, daß die Hinzunahme einer
beschränkten (konstanten) Anzahl von Bändern die Effizienz der Berechnung
höchstens polynomiell beeinflußt.
⊳.