Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

7 SCHLUSSBETRACHTUNGEN 67
Die Komplexität ist genauso definiert wie bei Klassen ohne Orakel (deterministisch
und nicht-deterministisch). Unrealistisch ist allerdings, daß jede
Frage aus dem Orakel als nur ein Schritt zählt.
Definition 7.2 Sei C eine deterministische oder nichtdeterministische
Komplexitätsklasse. Dann ist C A die Klasse von Sprachen, die durch Maschinen
desselben Typs wie für C akzeptiert wird, aber versehen mit einem
Orakel A.
Theorem 7.2 Es gibt Orakel A und B mit
1. P A = NP A
2. P B = NP B
Beweis:
1. Sei A eine PSPACE-vollständige Sprache. Dann gilt:
PSPACE a b c
A A
⊆ P ⊆ NP ⊆ NPSPACE d
⊆ PSPACE, also P A = NP A
(a) Sei L ∈ PSPACE. Man nehme eine deterministische Turing-Maschine,
die L auf A in polynomieller Zeit reduziert, und stelle
dann die Frage aus Orakel A genau einmal.
(b) Trivial (da jede deterministische Turing-Maschine auch nichtdeterministische
Turing-Maschine)
(c) Jede nichtdeterministische Turing-Maschine M mit Orakel A, die
in polynomieller Zeit arbeitet, kann durch eine nichtdeterministische
Turing-Maschine M ′ mit polynomiellem Platz, die auch A
selbst beantwort, simuliert werden.
(d) Satz von Savitch
2. Papadimitriou S. 340 bis 342
7.3 PSPACE
Wie sehen nun ” natürliche“ vollständige Probleme in PSPACE aus?
QBF (quantifizierte Boole’sche Formel): Sei E =
Q1x1Q2x2 . . . Qmxm eine Boole’sche Formel mit Φ(x1, . . . , xm) – Boole’scher
Ausdruck und Qi ∈ {∃, ∀}. Frage: Ist E wahr?
QBF (auch QSAT, quanitifisiertes SAT ) ist PSPACE-vollständig.
WORT-CS: Sei G eine kontextsensitive Grammatik und w ein Wort ∈ Σ ∗ .
Frage: Ist w ∈ L(G)?
WORT-CS ist PSPACE-vollständig.