Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

2 TURING-MASCHINE 25
Beispiel: TSP (D) mit Schranke D. Gegeben sei eine nichtdeterministische
Turingmaschine N mit zwei Bändern:
• Band 1: Das Eingabeband mit der Beschreibung des Problemfalls, auf
dem die Städte mit Entfernungen sowie die Schranke D stehen. Die
Länge der Beschreibung sei n.
• Band 2:
Phase 1: Beschreibe das Band mit beliebigem Wort w, |w| ≤ n. Dies
geschieht in Zeit O(n).
Phase 2: Teste, ob w eine Tour beschreibt (d. h. Permutation). Zeitbedarf
hier: O(n 2 ).
Phase 3: Falls Tour beschrieben wurde:
1. Aufaddieren der Distanzen. Zeitbedarf: O(n 2 ).
2. Falls Summe ≤ D, Übergang zu Zustand ” yes“, sonst: ” Abbruch“
der Berechnung (Übergang in ” no“ oder einfach in einen Zustand
von dem es nicht weiter geht).
Diese Maschine entscheidet TSP(D). Falls es eine Tour der Länge ≤ D gibt,
dann kann N eine solche Berechnungsfolge erzeugen und im Zustand ” yes“
halten, und zwar mit einer Folge von Konfigurationen, die nicht länger als
O(n 2 ) ist bei Eingaben der Länge n. Falls es keine Tour mit Länge ≤ D gibt,
dann findet die Maschine keine Berechnungsfolge von Konfigurationen, die
mit Zustand ” yes“ enden.
Das Problem ist nun: Wie komme ich von einer polynomiellen nichtdeterministischen
Berechnung zu einer möglicherweise schnellen deterministischen
Berechnung?
Nach heutigem Kenntnisstand können wir etwa zu obigem nichtdeterministischen
Algorithmus für TSP(D) keinen deterministischen polynomiellen
Algorithmus angeben.
Folgendes Resultat liegt derzeit vor:
Theorem 2.4 Sei L ∈ NTIME (f(n)). Dann kann L von einer deterministischen
Turingmaschine in O(c f(n) ) für eine Konstante c > 1 entschieden
werden.
Beweisskizze (nur Idee):
1. Gehe systematische alle Berechnungspfade des Baums durch.
2. Sei d maximaler Verzweigungsgrad, d ≥ 2 und d konstant.
3. An jedem Knoten kann man damit der Wahl des Weges eine Zahl
i, 1 ≤ i ≤ d zuordnen.