Skript zur Vorlesung Komplexitätstheorie im SS 1996

5 NP-VOLLSTÄNDIGE PROBLEME 51
2. Suche geeignetes NP-vollständiges Problem VOLL
3. Konstruiere Reduktion R: VOLL → PROB
4. Zeige, daß R mit O(log n) Platz konstruiert werden kann
1 und 4 sind meist leicht zu zeigen, die Hauptarbeit liegt in 2 und 3.
1 und 4 werden im folgenden oft nicht extra gezeigt, da offensichtlich.
5.1 Varianten von SAT
Ein wichtiges Problem, das NP-vollständig ist, ist 3SAT .
kSAT ist das Problem SAT, wobei in jeder Klausel höchstens k Literale
vorkommen.
Satz 5.1 3SAT ist NP-vollständig.
Beweis: CIRCUIT SAT ≤ 3SAT (schon in Beispiel 4.3 gezeigt). In der Tat
haben in der Reduktion alle erzeugten Klauseln höchstens 3 Variablen.
Satz 5.2 3SAT bleibt NP-vollständig,
1. falls alle Klauseln genau drei Literale enthalten
2. falls jede Variable höchstens dreimal auftaucht und jedes Literal
höchstens zweimal
Beweis:
1. Klauseln mit ein oder zwei Literalen: Auffüllen mit Kopien eines schon
vorkommenden Literals, z. B. (x ∨ ¬y) ⇒ (x ∨ x ∨ ¬y)
2. Sei x Variable, die in einem Ausdruck aus 3SAT k-mal auftaucht. Ersetze
x beim ersten Auftauchen durch x1, beim zweiten Auftauchen
durch x2, usw.
Es entstehen neue Variablen x1, x2, . . . , xk, die bei Wahrheitsbelegung
den gleichen Wert annehmen müssen. Das geschieht durch (konjunktives)
Hinzufügen des Ausdrucks Φ = (¬x1 ∨ x2) ∧ (¬x2 ∨ x3) ∧ · · · ∧
(¬xk ∨ x1).
Für alle i = 1, . . . k gilt: T (Φ) = true ⇔ T (¬xi ∨ xi+1) = true
Bemerkung: Grenzlinie zwischen P und NP: 2SAT ist in P (sogar in NL).
Beweis wird weggelassen.
Was passiert, wenn ein Problem aus 2SAT nicht erfüllbar ist?
Sinnvolle Frage: Wie ist die maximale Anzahl von Klauseln, die erfüllt werden
können?