universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

Luego la energía cinética del sistema está dada por
T = m 2 2
˙x + ˙y
2
=
(1.29)
m
l cosθ
2
˙ 2
2
θ + ˙Y + l sin θθ˙ . (1.30)
Luego,
T = m
2
y la expresión para la energía cinética es
l 2 cos 2 θ ˙ θ 2 + ˙ Y 2 + 2 ˙ Y l sinθ ˙ θ + l 2 sin 2 θ ˙ θ 2
, (1.31)
T = m
2
l 2
θ˙ 2
+ Y˙ 2
+ 2Y˙ l sin θθ˙ (1.32)
pero, tenemos que la amplitud de forzamiento es pequeña, por tanto el término ˙ Y 2 es despreciable. Finalmente la
expresión para la energía cinética queda
T = m
l
2
2
θ˙ 2
+ 2Y˙ l sin θθ˙ . (1.33)
Por otro lado, la energía potencial del sistema es
El lagrangiano del sistema es L = T − V,
L = m
2
V = mg [Y + l (1 − cosθ)] . (1.34)
l 2
θ˙ 2
+ 2Y˙ l sin θθ˙ − mg [Y + l (1 − cosθ)] . (1.35)
La ecuación que rige la dinámica del sistema se obtiene desarrollando la ecuación de Euler-Lagrange. Desarrollando
término por término, tenemos
y
d
dt
luego la ecuación de Euler-Lagrange implica
simplificando algunos términos, tenemos
∂L
∂θ = ml ˙ Y cosθ ˙ θ − mgl sin θ, (1.36)
∂L
∂ ˙ θ = ml2 ˙ θ + ml ˙ Y sin θ, (1.37)
∂L
∂ ˙
= ml
θ
2¨ θ + mlY¨ sin θ + mlY˙ cosθθ ˙ (1.38)
ml 2¨ θ + ml ¨ Y sin θ + ml ˙ Y cosθ ˙ θ − ml ˙ Y cosθ ˙ θ + mgl sin θ = 0. (1.39)
l 2¨ θ + l ¨ Y sin θ + gl sin θ = 0. (1.40)
Finalmente la expresión para la ecuación de Mathieu para cualquier ángulo se puede escribir como
¨Y + g
¨θ + sin θ = 0. (1.41)
l
La cual concuerda con la ecuación de Mathieu para ángulo pequeños (ecuación (1.19)), pues sinθ ≈ θ en ese caso.
Considerando que el forzamiento es de tipo cosenoidal y aplicando los mismos cambios de variables que en la sección
anterior, podemos reescribir la ecuación de Mathieu en su forma estándar
¨θ + (a − 2q cos(2τ))sin θ = 0. (1.42)
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