universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

f|llg > = < (ll) † f|g > (3.125)
como se mostro anteriormente. Luego la ecuación (3.118) se puede escribir como
< f|Lg > = < εf|g > + < −3R 2 f|g > + < (ll) † f|g > (3.126)
= <
ε − 3R 2 + (ll) †
f|g > (3.127)
= < L † f|g > (3.128)
Finalmente, hemos mostrado que el operador del sistema L = ε − 3R 2 + (ll) † es autoadjunto, es decir, L = L † .
Ahora para aplicar la alternativa de Fredholm, sólo debemos encontrar por lo menos un elemento del KerL en vez
de KerL † . Para encontrar dicho elemento utilizaremos la ecuación para la solucines estacionarias de la parte radial,
ecuación (A.16).
0 = εR± − 3R± − ∂XXR±
(3.129)
de las ecuaciones (3.103) y (3.104), podemos concluir que el operador de un solitón ubicado en la posición x = x0
(R(x − x0)) debe ser de la forma
L = ε − 3R 2 − ∂XX
(3.130)
y como podemos observar de la ecuación (3.96), este tiene la misma forma que el operdor de dos solitones, es fácil
proponer un elemento del Kernel del operador de un solitón ubicado en la posición x = x0. Para ello ocupamos la
ecuación para una solución estacionaria para un solitón ubicado en una posición arbitraria.
para ello derivamos la ecuación (3.131) con respecto a la variable espacial X
0 = εR − R 3 − ∂XXR (3.131)
0 = εR − R 3 − ∂XXR /∂X (3.132)
= ε∂XR − 3R 2 ∂XR − ∂XXXR (3.133)
= ε − 3R 2
− ∂XX ∂XR (3.134)
y por la definción del operador de un solitón en una posición arbityraria, ecuación (3.130), tenemos
0 = L|∂XR > (3.135)
donde, identificamos al vector |∂XR > como elemento del Kernel del operador del solitón. Es muy importante
recalcar que hemos encontrado un elemnto del kernel de un operador de un solitón, cual nos permitirá aplicar la
alternativa de Fredholm para establecer una condición de solubilidad a la ecuación (3.88) ó (3.89).
Para el operador del sistema definido en la ecuación (A.14) no se puede realizar el mismo procedimiento pues
este operador cuenta con un término (R) el cual cuenta con información de los dos solitones en estudio como una
combinacinación lineal entre ellos. Con este término la ecuación no se satisface la ecuación (A.16) (ecuación que nos
entrega la parte radial de un solitón estacionario), ella no es satisfecha cuando el término radial está compuesta por
una combinación lineal de ellos, al contar con término no lineal, en efecto: reemplazamos el término R = R− + R+
en la ecuación (A.16)
εR − R 3 − ∂XXR = 0 (3.136)
ε (R− + R+) − (R− + R+) 3 − ∂XX (R− + R+) = 0 (3.137)
εR− + εR+ − R 3 − − 3R2 − R+ − 3R−R 2 + − R3 + − ∂XXR− − ∂XXR+ = 0 (3.138)
εR−R 3
− − ∂XXR− + εR+ − R 3 2
+ − ∂XXR+ − 3R−R+ − 3R−R 2 + = 0 (3.139)
de la ecuación (A.16), tenemos que los términos que están entre paréntesis satisfacen dicha ecuación, por lo tanto
son nulos. Luego la ecuación (3.139) nos queda
−3R 2 − R+ − 3R−R 2 +
40
= 0 (3.140)