universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

Para encontrar las ecuaciones de movimiento del sistema, aplicamos la ecuación de Euler-Lagrange, que para una
variable canónica qk, está dada por
d ∂L
−
dt ∂ ˙qk
∂L
= 0, (1.12)
∂qk
nuestro caso, tenemos sólo una variable canónica, la cual es la variable angular del sistema. Calculando término por
término, tenemos
luego, reemplazando en la ecuación de Euler-Lagrange, tenemos
d
dt
∂L
∂θ = ml ˙ Y ˙ θ − mglθ, (1.13)
∂L
∂ ˙ θ = ml2 ˙ θ + ml ˙ Y θ, (1.14)
∂L
∂ ˙
= ml
θ
2¨ θ + mlY¨ θ + mlY˙ θ, ˙ (1.15)
0 = ml 2¨ θ + ml ¨ Y θ + ml ˙ Y ˙ θ − ml ˙ Y ˙ θ + mglθ (1.16)
0 = ml 2¨ θ + ml ¨ Y θ + mglθ (1.17)
0 = l 2¨ θ + l ¨ Y θ − glθ / · 1/l 2 . (1.18)
Finalmente reescribiendo la ecuación en su forma stándar, tenemos
¨Y + g
¨θ + θ = 0, (1.19)
l
Ahora definimos unidades de tiempo adimensionales, τ =
Ω
2 t, luego, reemplazando en esta última ecuación,
tenemos
Ω2 4 ¨
g − y0Ω
θ +
2 cos(2τ)
θ = 0, (1.20)
l
donde hemos definido ¨ θ = d2θ dτ2. Normalizando el primer término de la última ecuación, tenemos
¨θ
4g 4y0
+ −
lΩ2 l cos(2τ)
θ = 0. (1.21)
Para escribir la ecuación de Mathieu, en su forma stándar, definimos las siguientes cantidades a ≡ (2Ω0/Ω) 2 y
q ≡ 2y0/l, entonces la ecuación queda
¨θ + (a − 2q cos(2τ)) θ = 0 (1.22)
por definición de la variable a, tenemos que esta es siempre mayor que cero y que tiene el valor a = 1 (a es escogida
en unidades de frecuencia natural)⇔ Ω = 2Ω0, es decir, tiene el valor a = 1, cuando la frecuencia de forzamiento es
2 veces la frecuencia natural del sistema. Esta frecuencia se conoce como frecuencia de resonancia paramétrica. La
ecuación de Mathieu es una forma especial de la ecuación de Hill.
Analicemos qué ocurre cuando la frecuencia de forzamiento es cercana a la frecuencia de resonancia paramétrica,
es decir, Ω± = 2Ω0 ± ν, donde ν juega el rol de un parámetro de Tuning (un afinador a la frecuencia de resonancia
paramétrica), donde consideramos que este parámetro es pequeño. Por otro lado, el valor del parámetro a toma la
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