universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

donde definimos g(x) = ∂q
∂x |x, entonces
lím
a−→0
lím
a−→0
∂q
∂x
|x+ a
2
g(x + a
2
∂q
− ∂x
|x− a
2
a
Así la ecuación (A.8) la podemos reescribir en su forma continua.
m
2 ∂ q
a
a ) − g(x − 2 )
2
a
2
= ∂g
∂x |x
= ∂2 (A.19)
q
|x
∂x2 (A.17)
(A.18)
∂t2 − ka ∂2q = 0, (A.20)
∂x2 la cual corresponde a la ecuación de onda para la cadena de resortes en el límite hacia el continuo. Ahora analizaremos
el significado de las cantidades físicas que acompañan a las derivadas parciales en el límite hacia el continuo.
El límite al continuo simula una barra sólida elástica. Es claro que la cantidad
m
a tiende a una densidad lineal
de masa (masa por unidad de longitud) ρ. Por otro lado, recordamos que la extensión de una barra por unidad de
longitud es directamente proporcional a la fuerza o tensión que es sometida la barra, la cual se escribe como F = Y ξ,
donde ξ es la elongación de la barra y la constante de proporcionalidad Y es conocida como módulo de Young. La
extensión por unidad del longitud en el caso discreto se puede escribir como ξ = ql+1−ql
a , la fuerza necesaria para el
estiramiento de un resorte es
ql+1 − ql
F = k (ql+1 − ql)a = ka , (A.21)
a
que en el límite continuo resulta
lím
a−→0 ka
ql+1 − ql
= kaξ = Y ξ. (A.22)
a
Por lo tanto, recononcemos a ka cuando a −→ 0 como el módulo de Young. Luego la ecuación (A.20) en su forma
continua puede ser reescrita como
ρ ∂2q ∂t2 − Y ∂2q = 0, (A.23)
∂x2 la cual representa la ecuación de onda unidimensional. En el caso discreto, el índice l da la ubicación de una masa
puntual. En el caso continuo cada punto de la barra queda determinado por la posición x y ahora la variable q
queda determinada por la posición y el tiempo, es decir, se transforma en una variable tipo campo q −→ q(x, t).
Así tenemos siguientes cantidades pasan del discreto al continuo.
caso discreto caso continuo
m
a
−→ ρ
ka −→ Y
ql −→ q(x)
˙ql
l
−→
−→
74
∂q
∂t
dx