universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

Análisis de la función f∓(∆)
15
10
5
0
−5
−10
−15
25
20
γ
15
ν
10
µ
5
0 0
Figura 7.3: Región de parámetros tridimensional
Ahora analizaremos algunos casos límites importantes de la función f∓(∆):
lím∆−→0 f∓(∆) −→ −α √ ε
lím∆−→∞ f∓(∆) −→ 0
, de la siguiente figura podemos concluir que la interacción entre dos π-solitones es siempre atractiva, pues al colocar
un punto de fase (partícula imaginaria en el espacio de fase, ∆0) este siempre se mueve hacia la izquierda debido a
la forma del campo vectorial 2 dado por la ecuación de interacción entre dos π-solitones. Análisis que explicamos en
el primer capítulo 3 .
Análisis de los puntos fijos en la interacción entre dos π-solitones.
Los puntos fijos ∆ ∗ como se explicó en el capítulo I, están dados por la condición
5
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f∓(∆ ∗ ) = 0 (7.11)
, para esta ecuación de interacción, tenemos que la condición dada por la ecuación (7.11) se cumple sólo cuando
∆ −→ ∞. Por lo tanto, esta ecuación de interacción NO TIENE PUNTOS FIJOS FIJOS DEFINIDOS.
Análisis de la estabilidad de los puntos fijos.
Sea ∆ ∗ un punto fijo mensurable y sea δ(t) = ∆(t) − ∆ ∗ una pequeña perturbación sobre dicho punto. Para
entender la estabilidad de este punto fijo, debemos ver como es el crecimiento o decrecimiento de la pertubación en
dicho punto con respecto al tiempo. Para ello, derivamos la pertubación con respecto al tiempo.
˙δ = d
dt (∆ − ∆∗ ) = ˙ ∆, pues el punto fijo es constante (7.12)
luego tenemos que ˙ δ = ˙ ∆ = f(∆) = f(δ + ∆ ∗ ), expandiendo en serie de Taylor 4 . Así la expación en serie de taylor
de la función se puede escribir como
f(δ + ∆ ∗ ) = f(∆ ∗ ) + f ′ (∆ ∗ )δ + 1
2 f ′′ (∆ ∗ )δ 2 + · · · (7.13)
2 Un campo vectorial está definido por la ecuación ˙x = f(x). Al dibujar ˙x v/s x podemos dibujar flechas que indican la dirección
de movimiento de un punto de fase. Cuando ˙x > 0, las flechas son hacia la derecha as como el movimiento de la partícula imaginaria
miestras que las flechas son hacia la izquierda cuando ˙x < 0 as como el movimiento de la partícula imaginaria
3 Explicar el flujo unidimensional para analizar el diagrama de fase
4 Serie de Taylor alrededor x0, f(x) = f(x0) + f ′ (x0)(x − x0) + 1
2 f ′′ (x0) (x − x0) 2 + · · · , realizando un pequeño cambio de variable
u = x − x0, podemos reescribir la serie de Taylor como f(u + x0) = f(x0) + f ′ (x0)u + 1
2 f(x0)u 2 + · · · .
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