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2.3. Aparición de soluciones a través de una bifurcación de Saddle- Node Por otro lado, tenemos que la parte angular de la solución general son funciones multivaluadas, pues son invariantes bajo una traslación angular de 0, ±2π, ±4π, · · ·, así las soluciones relevantes son las que están entre [−π, π] ó [0, 2π]. Moviendo los parámetros de modo de satisfacer la ecuación (2.80), se crean (o destruyen) soluciones (una estable y otra inestable), lo que es conocido como bifurcación de Saddle-Node. Podemos visualizar esto en la figura 2.3, donde, si se va aumentando el factor γ/µ desde la región donde existen una solución estable y la otra inestable, estas soluciones se acercarán hasta chocar y desaparecer. Solución Inestable cos(2θ0), sin(2θ0) −θ0 −θ0 +θ0 Solución Estable Figura 2.3: Gráficas de las soluciones inestable y estable respectivamente para un ángulo de 30 grados. La curva en azul representa la parte real y la curva en roja la parte imaginaria de la solución. 26 +θ0 γ/µ θ0
2.4. El espacio de parámetros Al analizar la parte real de la solución de la ecuación (2.92), nos demos cuenta que las soluciones entán restringidas en el espacio de parámetros. De la ecuación (2.122) tenemos las siguientes restriciones: ν ∓ γ 2 − µ 2 > 0 (2.125) γ 2 − µ 2 > 0 (2.126) La ecuación (2.125), representa la ecuación de una hipérbola en el espacio γ v/s ν, donde µ es constante. La ecuación (2.125) se puede reescribir como γ 2 − ν 2 < µ 2 (ecuación de una hipérbola, donde γ es la variable dependiente, ν es una variable independiente y µ es una constante). Por otro lado la ecuación (2.126) presenta otra restricción para γ < µ y γ > −µ. La región permitida para el sistema, es presentada en la figura 2.4. Para que la solución estacionaria sea real debemos estar en la región calipso de la figura, como se ilustra en la figura. 0 γ 0 γ=+µ ν γ=−µ Figura 2.4: Diagrama esquemático del espacio de parámetros del sistema. 27
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