universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

así tenemos que la variación temporal de ϕ se puede escribir como
1
∂tϕ = −
4 γ2 − µ 2
∂ 2 z (R− + R+)
(R− + R+) −
2
∂z (R− − R+) ˙∆ 2
(R− + R+) 2
1
−
4 γ2 − µ 2
∂z (R− − R+)
¨∆ (3.232)
(R− + R+)
pero si suponemos que las variaciones espaciales de las soluciones estacionarias son pequeñas debido a que suponemos
que a que los términos que bota son de la forma..., podemos despreciar estos términos y finalmente podemos reecribir
la ecuación (7.19) como
1
∂tϕ = −
4 γ2 − µ 2
∂z (R− − R+)
¨∆ (3.233)
(R− + R+)
Al reemplazar esta ecuación en la ecuación (7.14), tenemos
Lρ = − (R− + R+)
4 γ 2 − µ 2
∂z (R− − R+)
(R− + R+)
∂z (R− − R+)
Lρ = −
4 γ2 − µ 2
¨∆ − 2µ (R− + R+)
4 γ2 − µ 2
∂z (R− − R+)
˙∆ + 3R
(R− + R+)
2 −R+ + 3R−R+ (3.234)
¨∆ − µ∂z (R− − R+)
2 γ 2 − µ 2
˙∆ + 3R 2 − R+ + 3R−R+
(3.235)
Como dijimos anteriormente no queremos encontrar la solución para la parte radial de la perturbación, es decir,
resolver esta última ecuación. Si no que queremos encontrar una ecuación cinemática para ∆ que de cuenta de la
interacción de los solitones. Para ello podemos aplicar la alternativa de Fredholm que dice lo siguiente: Sea E que
esta definiso por LW = A,con un operador L, entonces L|W >= |A > tiene solución (condición de solubilidad) sí y
sólo sí para todo |v > ǫ Ker L † se cumple que < v|A > = 0 la cual se conoce como condición de solubilidad. El
operador que debemos estudiar es dado en la ecuación (7.15) y podemos demostarar fácilmente que este operdor es
autoadjunto bajo un producto interno para dicho espacio 4 .
Como se calculó en otras ocaciones este operador tiene dos pseudovectores 5 pertenecientes al kernel ellos son
{∂xR−, ∂xR+} ǫ Ker L †
(3.236)
Ahora aplicamos uno de estos pseudovectores a la ecuación (7.22) 6 . Notar que aplicar un pseudovector a dicha
ecuación implica calcular integrales del producto de funciones. Por ello a continuación mostraremos graficamente
algunas de las formas de dichas funciones como podemos observar, hay varias integrales que son prácticamente
-40
-20
1
0,5
-0,5
0
0
Figura 3.10: R− + R+ and ∂xR+∂xR− respectively.
4 El producto interno defindo en este espacio es < f|g > =Ê∞
−∞ fg∗ dx donde g ∗ es el complejo conjunado de g.
5 Se llama pseudovectores a los vectores que cumplen casi con la condición de solubilidad, es decir, < v|A > ≈ 0
6 Aplicamos el pseudovector {∂xR−}
50
20
x
40