universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

donde podemos ver que el operador del sistema es autoadjunto, es decir, L = L † .
Luego, como el operador es autoadjunto, sólo debemos encontrar un elemento del kernel de L para mostrar que
la ecuación (2.21) tiene solución. Por la forma del operador podemos utilizar el siguiente elemento eiΩ 2 t , entonces
tenemos
Ω i
Le 2 t = ∂tt + Ω 2 i
0 e Ω
2 t
=
− Ω2
4 + Ω2 0
(2.50)
e iΩ
2 t , (2.51)
cuyo elemento cumple con la condición de solubilidad ´si y sólo sí Ω
2 = Ω0, es decir, cuando la frecuencia del
forzamiento es el doble de la frecuencia natural del sistema.
Por otro lado, podemos tener un pseudovector 6 perteneciente al kernel del operador, utilizando un parámetro
llamado detuning, y definido como
Ω
2 = Ω0 + ν. (2.52)
Este parámetro de detuning sirve para ajustar al sistema a una frecuencia determinada. Para que el vector que
Ω i encontramos perteneciente al kernel del operador (e 2 t ) sea un pseudovector de dicho operador ponemos la siguiente
Ω
restricción ν ≪ 1. Así el el nuevo vector e
i( 2 −ν)t es un pseudovector de dicho operador. Ahora tenemos
Ω
Le
i( 2 −ν)t ≈ 0. (2.53)
Antes de ocupar el Kernel de este operador (o pseudokernel) reemplazaremos
Ω
Luego al aplicar el método de Fredholm para el pseudovector ya establecido e
i( 2 −ν)t , tenemos
−B∂T + i Ω
A − Ω
22
2 0A − 1
2 |A|2 A−µB∂T + i Ω
+ DG
2A 2 ∂XXA + i γ
−
2A 1
2 |A|2 Ae iΩ 2 t = 0
−B∂T + i Ω
A − Ω
22
2 0A − 1
2 |A|2 A−µB∂T + i Ω
+ DG
2A 2 ∂XXA + i γ
−
2A 1
2 |A|2 A=0.
Si expandimos todos los términos
−B 2 ∂TT A − 2B∂T Ai Ω
2 +Ω
A − Ω
22
2 0A + Ω20 2 |A|2 A − µB∂TA − iµ Ω
2 A + DG2∂XXA + i γ
A − iγ
2 4 |A|2 A = 0.
Pero el hecho que Ω
2 = Ω0 + ν, con ν ≪ 1, implica
−B 2 ∂TT A − 2B∂TAi(Ω0 + ν) + (Ω0 + ν) 2 A − Ω 2 0A + Ω20 2 |A|2 A (2.54)
−µB∂TA − iµ(Ω0 + ν) A + DG 2 ∂XXA + i γ
A − iγ
2 4 |A|2 A = 0
−B 2 ∂TT A − 2B∂T AiΩ0 − 2B∂T Aiν + Ω 2 0A + 2Ω0νA + ν 2 A − Ω 2 0A + Ω20 2 |A|2 A (2.55)
−µB∂TA − iµΩ0A − iµνA + DG 2 ∂XXA + i γ
A − iγ
2 4 |A|2 A = 0.
Dado que ν es pequeño podemos despreciar términos del orden O(ν 2 ). Más aún, como µ γ ν, también podemos
excluir ordenes superiores en cualquier combinaci ón de estos parámetros:
−B 2 ∂TT A − 2B∂TAiΩ0 − 2B∂TAiν + 2Ω0νA + Ω20 2 |A|2 A − µB∂T A − iµΩ0A (2.56)
+DG 2 ∂XXA + i γ
A − iγ
2 4 |A|2 A = 0.
6 Se dice que es pseudovector porque aplicar dicho vector sobre el operador es aproximadamente nulo o cero
19