universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

3. Tiempo para el cual los solitones colapsan (∆∓(t ∗ , t0) = 0)
∆∓(t ∗ , t0) = ln (−a (t ∗ − t0) + b) (7.35)
0 = ln (−a (t ∗ − t0) + b) / exp() (7.36)
1 = −a (t ∗ − t0) + b (7.37)
−a (t ∗ − t0) = b − 1 / · −1 (7.38)
a (t ∗ − t0) = − (1 − b) (7.39)
t ∗ − t0 =
(1 − b)
−
a
(7.40)
t ∗ = t0−
(1 − b)
a
(7.41)
A continuación mostraremos que el término (1 − b)/a es menor que cero. En efecto, tenemos que b = e √ ε∓∆0 .
Primero, tenemos que ∆0 > 0 por definición de distancia. Segundo elegimos signo postivo5 para el parámetro
ε∓, pues queremos que nuestra solución de la ecuación diferencial tenga significado físico. Luego como √ ε+ > 0
y ∆0 > 0, entonces tenemos que b = e √ ε+ ∆0 > 1. Luego el término (1 − b) < 0. Entonces la cantidad
t ∗
(1 − b)
= t0 −
a
> t0
(7.42)
lo cual es bastante esperable, pues t = t0 es el tiempo inicial, donde se tiene una distancia inicial del sistema.
Luego debido a la interacción atractiva entre ellos hace que ellos copalsen en un tiempo posterior a t0, es
decir, t ∗ > t0.
4. Tiempo para el cual sistema tiene distancia infinita Este punto sólo se calcula sólo por un fin
matemático para proporcionar información en que lugar se encuentra este punto y no tiene ninguna relevancia
física. para ellos exigimos que el argumento del logaritmo de la ecuación (A.3) sea nulo, es decir,
−a
t − t0 + b =
a
0 ⇔ ∆∓ = −∞ (7.43)
t − t0 = b (7.44)
t = t0 + b
a
(7.45)
pero de la ecuación (A.9) podemos escribir como
t ∗ =
t0 + b
−
a
1
a
t ∗ = t − 1
a
t = t ∗ + 1
a
de esta última ecuación podemos inferir que t es mayor que t∗ por una cantidad 1/a.
(7.46)
(7.47)
(7.48)
Finalmente, tenemos la siguiente jerarquía de tiempos relevantes en la interacción entre dos solitones 0 < t0 < t ∗ < t,
es decir, primero partimos de un cierto estado anterior al estado inicial, t = 0, luego pasamos a un estado inicial
t0 con una distancia inicial ∆0, el sistema interactúa de manera atractiva bajo la ecuación de interacción (A.3)
hasta alcanzar un colapso (∆∓(t ∗ , t0) = 0). Finalmente en un tiempo posterior y sólo con relavancia matemática,
el sistema tiene una distancia infinita negativa posterior a t ∗ .
5 aclarar el signo de ε∓
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