universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

integrando con Maple, tenemos
así tenemos
finalmente tenemos
Por otro lado la integral
∞
−∞
∞
−∞
sech 2 udu = 2 (3.197)
sech 4 udu = 4
3
< ∂XR−|∂XR− > = 2ε 3/2
6 4 3/2 2
− = 2ε
3 3 3
< ∂XR−|∂XR− > = 4
3 ε3/2
(3.198)
(3.199)
(3.200)
< ∂XR−|∂ZR+ > = < ∂XR−|∂XR+ > (3.201)
≈ 0 (3.202)
pues cuando los solitones están muy alejado, sus corazones también lo están y sus funciones están haciendo
evaluados en puntos lejanos. Por el momento nos enfocaremos cuando los solitones están muy alejados ∆ ≫ 1,
así la integral de la ecuación (3.186) queda como
< ∂XR−|∂Z (R− − R+) > = < ∂XR−|∂ZR− > − < ∂XR−|∂XR+ > (3.203)
Ahora debemos calcular la siguiente integral
≈ < ∂XR−|∂ZR− > (3.204)
≈ 4
3 ε3/2
(3.205)
< ∂XR−|3R 2 −R+ > =
3.1.6. Estudio de la Dinámica en la región II
Consideremos la ecuación (7.12) y multiplequemósla a ambos lados por (R− + R+), entonces tenemos
∞
−∞
(3.206)
˙∆
2 ∂z (R− − R+)(R− + R+) = (R− + R+) 2 ∂xxϕ + 2 (R− + R+)∂x (R− + R+)∂xϕ − 2 γ 2 − µ 2 (R− + R+) 2 ϕ
donde podemos ver que los dos primeros términos del lado derecho se pueden escribir como
∂x{(R− + R+) 2 ∂xϕ} = 2 (R− + R+)∂x (R− + R+)∂xϕ + (R− + R+) 2 ∂xxϕ (3.207)
luego rescribiendo la ecuación, tenemos
˙∆
2 ∂z (R− − R+)(R− + R+) = ∂x{(R− + R+) 2 ∂xϕ} − 2 γ 2 − µ 2 (R− + R+) 2 ϕ (3.208)
∂x{(R− + R+) 2 ∂xϕ} = ˙ ∆
2 ∂z (R− − R+)(R− + R+) + 2 γ 2 − µ 2 (R− + R+) 2 ϕ (3.209)
Ahora integraremos entre [−∞, x ′ ], donde el valor de la cota superior x ′ debe contener a las dos soluciones en
estudio.
x ′
∂x{(R− + R+)
−∞
2 ∂xϕ}dx = ˙ ∆
2
(R− + R+) 2 ∂xϕ = ˙ ∆
2
∂xϕ =
x ′
∂z (R− − R+)(R− + R+)dx + 2
−∞
γ2 − µ 2
x ′
∂z (R− − R+)(R− + R+)dx + 2
−∞
γ2 − µ 2
1
(R− + R+) 2 { ˙ ∆
2
x ′
x ′
(R− + R+)
−∞
2 ϕdx
x ′
(R− + R+)
−∞
2 ϕdx
∂z (R− − R+)(R− + R+)dx + 2
−∞
γ2 − µ 2
47
x ′
(R− + R+)
−∞
2 ϕdx}