universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

d
dt
Reemplazando, se tiene
∂L
∂ ˙ θ
∂L
∂ ˙ θ = {ml2θ ˙ + mlY˙ µt
sin θ}e , (1.86)
= {ml 2¨ θ + ml ¨ Y sin θ + ml ˙ Y cosθ ˙ θ}e µt + µ{ml 2 ˙ θ + ml ˙ Y sin θ}e µt , (1.87)
∂L
= −ρθxe
∂θx
µt , (1.88)
d ∂L
= −ρθxxe
dx ∂θx
µt . (1.89)
{ml 2¨ θ + ml ¨ Y sin θ + ml ˙ Y cosθ ˙ θ + µml ˙ θ + µml ˙ Y sin θ − ρθxx − ml ˙ Y cosθ ˙ θ + mgl sin θ}e µt = 0, (1.90)
y eliminado algunos términos
ml 2¨ θ + ml ¨ Y sinθ + µml ˙ θ + µml ˙ Y sin θ + mgl sin θ = 0 (1.91)
θtt = − 1
l ¨ Y sinθ − µ
l ˙ θ − µ
l ˙ Y sin θ + ρ
ml2θxx − g
sinθ. (1.92)
l
Ahora suponemos un forzamiento paramétrico de la forma Y (t) = γ sin (Ωt), así
Reemplazando las ecuaciones (1.93) y (1.94) en la ecuación (1.92), tenemos
˙Y = γΩ cos(Ωt) (1.93)
˙Y = −γΩ 2 sin(Ωt). (1.94)
θtt = − 1 2 µ
−γΩ sin (Ωt) sin θ −
l
l ˙ θ − µ
ρ
(γΩ cos(Ωt))sinθ +
l ml2 θxx − g
sin θ (1.95)
l
2 γΩ
µ
θtt = sin (Ωt)sin θ − ˙θ
µγΩ
ρ
− cos(Ωt)sin θ +
l
l l
ml2
g
θxx − sinθ, (1.96)
l
pero considerando que tanto la constante de disipación como la amplitud de formzamiento son pequeños, entonces
el término que contiene µγ es despreciable, entonces la ecuación (1.96) queda
2 γΩ
µ
θtt = sin (Ωt)sin θ − ˙θ
ρ
+
l
l ml2
g
θxx − sin θ (1.97)
l
para escribir la ecuación de una manera más estándar, definimos:
γ = γΩ2
, (1.98)
l
µ = µ
, (1.99)
D =
l
ρ
, (1.100)
ml2 Ω 2 0 = g
, (1.101)
l
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