universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

antes de desarrollar la ecuación (7.7) haremos algunas acotaciones con respecto a algunas aproximaciones que
realizaremos. Primero como mencionamos anteriormente, en el método de variación de parámetros mencionamos
que las perturbaciones son pequeñas (ρ,ϕ ≪ 1), es decir, despreciaremos términos del orden O(ρϕ) o superiores.
Para simplificar la notación, definimos
desarrollando la experisión (7.7), tenemos
∂T R + ∂Tρ = (2∂XR + 2∂Xρ)(∂Xθ0 + ∂Xϕ) + R(∂XXθ0 + ∂XXϕ) +
R ≡ (R− + R+), (3.11)
ρ (∂XXθ0 + ∂XXϕ) − µR − µρ + γRcos(2θ0 + 2ϕ) + γρ cos(2θ0 + 2ϕ) (3.12)
pero sabemos que θ0 = constante, luego ∂Xθ0 = 0, entonces la última expresión nos queda
∂T R + ∂Tρ = 2∂XR∂Xϕ + 2∂Xρ∂Xϕ + R∂XXϕ+
ρ∂XXϕ − µR − µρ + γRcos(2θ0 + 2ϕ) + γρ cos(2θ0 + 2ϕ) (3.13)
Como mencionamos anteriormente, las perturbaciones sobre las soluciones son pequeñas, es decir, despreciaremos
todos los términos del orden O(ρ, ϕ) ó O (∂Xρϕ),O (ρ∂Xϕ),O (∂Xρ∂Xϕ), etc. Por lo tanto 2∂Xρ∂Xϕ ≈ 0 y
ρ∂XXϕ ≈ 0. Luego la expresión (7.13) nos queda
∂T R + ∂Tρ = 2∂XR∂Xϕ + R∂XXϕ − µR − µρ + γRcos(2θ0 + 2ϕ) + γρ cos(2θ0 + 2ϕ) (3.14)
También como mencionamos anteriormente, las perturbaciones tipo campo son variaciones lentas en el espacio y en
el tiempo, pero consideraremos que las parturbaciones en el tiempo son mucho más despreciables que en el espacio,
por ende, despreciaremos el siguiente término ∂Tρ ≪ ρ, es decir, las variaciones en el en la variable temporal son
muy peque`nas. Luego la ecuación (7.14) adopta la forma
∂T R = 2∂XR∂Xϕ + R∂XXϕ − µR − µρ + γRcos(2θ0 + 2ϕ) + γρ cos(2θ0 + 2ϕ) (3.15)
Por otro lado, ya que la pertunación en la parte angular es peque`na, es decir, ϕ ≪ 1, desarrollaremos en serie de
Taylor la función coseno alrededor de 2θ0 hasta primer orden en ϕ
lo cual resulta
cos(2θ0 + 2ϕ) ≈ cos2θ0 − 2 sinθ0ϕ (3.16)
∂T R = 2∂XR∂Xϕ + R∂XXϕ − µR − µρ + γR(cos2θ0 − 2 sinθ0ϕ) + γρ (cos2θ0 − 2 sinθ0ϕ) (3.17)
= 2∂XR∂Xϕ + R∂XXϕ − µR − µρ + γRcos2θ0 − 2γRsinθ0ϕ + γρ cos2θ0 − 2γρ sinθ0ϕ (3.18)
donde despreciamos nuevamente términos de la forma O (ρϕ), es decir, despreciamos el término 2γρ sinθ0ϕ ≈ 0,
luego la expresión (7.18) nos queda
∂T R = 2∂XR∂Xϕ + R∂XXϕ − µR − µρ + γRcos2θ0 − 2γRsinθ0ϕ + γρ cos2θ0 (3.19)
Por otro lado, encontramos en el capítulo de Soluciones estacionarias la siguiente ligadura del sistema
cos2θ0 = µ
γ
entonces por la identidad trigonométrica cos 2 θ + sin 2 θ = 1, encontramos también
(3.20)
sin2θ0 = ± 1
γ2 − µ 2 (3.21)
γ
Luego, reemplazando los términos de las ecuaciones (7.20) y (7.21), tenemos
∂T R = 2∂XR∂Xϕ + R∂XXϕ − µR − µρ + γR µ
− 2γR ±
γ 1
γ2 − µ 2 ϕ + γρ
γ
µ
=
γ
2∂XR∂Xϕ + R∂XXϕ − µR − µρ + Rµ − 2R ±
(3.22)
γ2 − µ 2
ϕ + ρµ (3.23)
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