universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

a)
b)
l
l-1 l+1
ql-1 ql ql+1
estado de equilibrio
estado de no equilibrio
Figura 1.7: a) Cadena de resortes acoplados en estado de equilibrio, b) Cadena de resortes acoplados en estado de
no equilibrio.
∂L
∂qs
=
∂
∂qs
⎡
⎣ 1
2
N
l=1
m ˙q 2 l − 1
2
d
dt
N
l=1;l=s,s−1
∂L
= m ˙qs, (1.62)
∂ ˙qs
∂L
= m¨qs, (1.63)
∂ ˙qs
k (ql+1 − ql) 2 − 1
2 k (qs+1 − qs) 2 − 1
⎤
2 k (qs − qs−1) 2⎦
(1.64)
= k (qs+1 − 2qs + qs−1). (1.65)
Así, la ecuación de movimiento para la partícula s resulta
1.3.2. Límite continuo y la ecuación de onda
m¨qs − k (qs+1 − 2qs + qs−1) = 0. (1.66)
La ecuación (1.66) es válida para un número finito de partículas, o en el mejor caso, para una suma infinita
mensurable de grados de libertad.
Para, en la formulación anterior, pasar de un sistema discreto a uno efectivamente continuo, podemos llevar al límite
continuo el lagrangiano del sistema. En nuestro caso, tenemos una cadena lineal discreta de resortes y queremos
llevarla al continuo. Para ello, aumentaremos el número de “átomos” sin aumentar el largo de la cadena. Esto
implica que disminuye la distancia a de separación entre cada átomo cuando se encuentra en su estado de equilibrio,
es decir, cuando N −→ ∞, a −→ 0, pero conservando el largo de la cadena.
Para tomar el límite es conveniente reescribir el lagrangiano (1.60), como sigue
L = 1
N
m
a ˙q
2 a
l=1
2 N 1
l − ka
2
l=1
2
2 ql+1 − ql
(1.67)
a
N
1
m
= a ˙q
2 a
2
2
ql+1 − ql
l − ka
(1.68)
a
= a
l=1
N
Ll, (1.69)
l=1
9