universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

More documents

Recommendations

Info

Capítulo 3 Sobre la interacción entre de solitones 3.1. Interacción entre dos 0-solitones En esta sección, estudiaremos si existe algún tipo interacción entre las soluciones tipo “partículas” llamadas 0-solitón y π-solitón. Primero, estudiaremos algún tipo de interacción entre 0-solitón con 0-solitón. Para empezar, comenzaremos estudiando la interacción entre dos 0-solitones. Gráficamente queremos estudiar lo siguiente: amplitud Δ espacio Figura 3.1: Interacción 0-solitón con 0-solitón. 28
Donde R− representa una solución 0-solitón ubicada en la posición X = −∆ 2 , es decir, de la forma R−(X + ∆ 2 ), R+ representa una solución 0-solitón, ubicada en la posición X = + ∆ 2 , es decir, de la forma R+(X − ∆ 2 ) y ∆ representa la separación entre dichas partículas. En muy importante recalcar que la dinámica de la separación entre dichas “partículas” nos dará cuenta si existe o no existe interacción entre ellas. Para poder encontrar algún tipo de interacción entre estas dos partículas aplicaremos un método llamado variación de parámetros, el cual consiste en aplicar pequeñas perturbaciones sobre una “solución” propuesta, donde supondremos que estas perturbaciones son tipo campo, es decir, ellas dependen tanto del espacio como del tiempo, también supondremos que estas perturbaciones son de variaciones lentas tanto en la variable espacial como en la variable temporal. Para este problema, suponendremos que existe una solución tipo combinación lineal en la parte radial, es decir, supondremos una “solución” para la interacción es representada por una combinación lineal entre las partículas R− y R+, pero dado que la ecuación de amplitud para la cadena péndulos que soporta este tipo de soluciones (0-solitón y π-solitón) se trata de una ecuación no-lineal, ello no implica que la combinación lineal de dos soluciones sea una solución de la ecuación de amplitud y es por ello que se introduce un término perturbativo, en este tipo de interacción aplicamos una perturbación en la parte radial de la solución que llamaremos ρ(X, T), es decir, que depende tanto del espacio como del tiempo, mientras que aplicamos una perturbación ϕ(X, T) sobre la parte angular de nuestra solución a fase constante, así tenemos que nuestra solución radial y angular propuesta a partir del método de variación de parámetros toman la forma R(X, T) = R−(X + ∆ 2 ) + R+(X − ∆ ) + ρ(X, ∆) 2 (3.1) θ(X, T) = θ0 + ϕ(X, ∆), (3.2) donde promovemos el corazón del solitón como una función dependiente del tiempo, es decir, ∆ → ∆(T). Además tanto ρ(X, T) como ϕ(X, T) son pertubaciones pequeñas, es decir, ρ(X, T), ϕ(X, T) ≪ 1. Vamos a suponer que estas pertubaciones que dependen del tiempo de una manera implícita, es decir, ellas dependen de la variable temporal a través de la variable que describe la dinámica de interacción, es decir, ∆, luego las soluciones propuestas en las ecuaciones (7.1) y (7.2) toman la forma R(X, T) = R−(X + ∆(T) ) + R+(X − 2 ∆(T) ) + ρ(X, ∆(T)) 2 (3.3) θ(X, T) = θ0 + ϕ(X, ∆(T)), (3.4) ahora reemplazaremos las soluciones propuestas en las ecuaciones (7.3) y (7.4), en la siguientes ecuaciones, obtenidas a partir de la ecuación de amplitud de una cadena de péndulos forzado paramétricamente con disipación de energía al proponer una solución tipo polar de la forma A(X, T) = R(X, T)e iθ(X,T) , donde obtenemos las siguientes ecuaciones ∂TR = 2∂XR∂Xθ + R∂XXθ − µR + γR cos(2θ) (3.5) R∂Tθ = νR − R 3 − ∂XXR + R (∂Xθ) 2 − γR sin (2θ) (3.6) Primero, reemplazamos las soluciones propuestas en las ecuaciones (7.3) y (7.4) en la ecuación (7.5), así tenemos ∂T (R− + R+ + ρ) = 2∂X (R− + R+ + ρ)∂X (θ0 + ϕ) + ∂XX (θ0 + ϕ) donde definimos la variable Z = X ∓ ∆ temporal de R± debemos aplicar la regla de la cadena. donde ∂Z ∂∆ = ∓1 2 temporal, luego 2 , así tenemos que R±(X ∓ ∆ ∂TR± = ∂R± ∂Z − µ (R− + R+ + ρ) + γ (R− + R+ + ρ)cos(2 (θ0 + ϕ)) (3.7) · ∂Z ∂∆ 2 ) = R±(Z), es decir, para calcular la derivada ∂∆ · , (3.8) ∂T y ∂∆ ∂T = ˙ ∆ pues la separación entre las partículas es una función que depende sólo de la variable ∂TR± = ∓ 1 ∂R± 2 ∂Z ˙ ∆ (3.9) = ∓ ˙ ∆ 2 ∂ZR± (3.10) 29
Page 1 and 2: UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CI
Page 3 and 4: Índice general 1. Introducción 1
Page 5 and 6: Capítulo 1 Introducción 1.1. Alca
Page 7 and 8: la frecuencia natural del sistema e
Page 9 and 10: forma pero dado que ν es pequeño,
Page 11 and 12: 1.2.3. Ecuación de Mathieu para cu
Page 13 and 14: a) b) l l-1 l+1 ql-1 ql ql+1 estado
Page 15 and 16: donde ut y ux son variables de la v
Page 17 and 18: donde Ω0, representa la frecuenci
Page 19 and 20: A continuación desarrollaremos la
Page 21 and 22: Antes de continuar expresaremos la
Page 23 and 24: donde podemos ver que el operador d
Page 25 and 26: 2.2. Soluciones estacionarias con f
Page 27 and 28: • • ∂XXR = ∂X{∂XR} (2.96)
Page 29 and 30: 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2
Page 31: 2.4. El espacio de parámetros Al a
Page 35 and 36: eliminando algunos términos, tenem
Page 37 and 38: así de la ecuación (A.15) desarro
Page 39 and 40: luego el término de la ecuación (
Page 41 and 42: dado que |v > ǫ Ker L † , es de
Page 43 and 44: ∞ < f|g > = f · g −∞ ∗ dx
Page 45 and 46: y la ecuación (3.136) queda εR
Page 47 and 48: donde X0 representa una ubicación
Page 49 and 50: En resumen, tenemos que el operador
Page 51 and 52: integrando con Maple, tenemos así
Page 53 and 54: pero f(x, t) tiene argumentos del e
Page 55 and 56: nulas. Lo cual se redece a calcular
Page 57 and 58: ∆ Espacio de Fase Figura 4.1: Dia
Page 59 and 60: Capítulo 5 Gas de Solitones 5.1. G
Page 61 and 62: Capítulo 6 Simulaciones 6.1. Simul
Page 63 and 64: Diversas enfoques acá no hay que d
Page 65 and 66: x 10−3 5.55 5.5 5.45 5.4 5.35 5.3
Page 67 and 68: Capítulo 7 Formación de estructur
Page 69 and 70: Análisis de la función f∓(∆)
Page 71 and 72: luego, reemplazando en la ecuación
Page 73 and 74: 15 10 ∆+ (0,∆0) 5 (t0,ln(b)) 0
Page 75 and 76: Bibliografía [1] M. C. Cross & P.
Page 77 and 78: la cual corresponde a la ecuación
Page 79: Manuscrito 75

universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?